Leçon 204 * : Connexité. Exemples et applications.

(2018) 204

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon : en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, l’identification des connexes de R sont des résultats incontournables. On distinguera bien connexité et connexité par arcs (avec des exemples compris par le candidat), mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. A contrario, on pourra distinguer leur comportement par passage à l’adhérence. La notion de composantes connexes doit également trouver sa place dans cette leçon (pouvant être illustrée par des exemples matriciels). L’illustration géométrique de la connexité sera un point apprécié par le jury. Des exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) seront valorisés. Le choix des développements doit être pertinent, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge.

(2016 : 204 - Connexité. Exemples et applications. ) Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon : en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, l’identification des connexes de R sont des résultats incontournables. On distinguera bien connexité et connexité par arcs (avec des exemples compris par le candidat), mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. A contrario, on pourra distinguer leur comportement par passage à l’adhérence. Des exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) seront appréciés. Le choix des développements doit être pertinent, le préambule en fournit quelques exemples, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge.
(2015 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité ; par exemple, diverses démonstrations du théorème de d'Alembert-Gauss. On distinguera bien connexité et connexité par arcs, mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident.
(2014 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité ; par exemple, diverses démonstrations du théorème de d'Alembert-Gauss. On distinguera bien connexité et connexité par arcs, mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident.

Plans/remarques :

2019 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2018 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2017 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2016 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2019 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Composantes connexes des formes quadratiques réelles

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    Je n'étais pas très à l'aise pendant le développement, le stress m'empêchait sans doute d'être réellement convaincant.
    J'avais remplacé une inégalité large par une inégalité stricte, une jury m'a demandé de corriger. Ensuite un jury m'a demandé de montrer que ce que j'utilisais dans mon développement était bien une norme ; ce que j'ai du faire en entier malgré la facilité de la vérification. Je pense que c'est à cause de l'image peu assurée que j'ai donné pendant mon développement. J'ai ensuite dû donner la définition d'une forme quadratique.

    Sur le plan :
    - démontrer l'équivalence entre un E = O1 union O2 où O1 et O2 sont des ouverts disjoints et E = F1 union F2 où F1 et F2 sont des fermés disjoints
    - démontrer la caractérisation de la connexité par les fonctions à valeurs dans {0,1}
    - je n'avais pas écrit la condition de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires, j'ai du compléter l'énoncé
    - démontrer le théorème de Darboux : j'avais la démonstration dans mes notes, je leur ai dit, mais la prof qui m'a posé la question m'a demandé ce que je pouvais dire sans regarder ; j'ai donné les grandes lignes sans trop me convaincre, ça a eu l'air de lui suffire et on est passé à autre chose

    Exercice :
    Un seul exercice pour la fin, j'avais une fonction f : R^n -> R^n C1 telle qu'il existe un k >0 tel que pour tout x,y, ||x-y|| < k*||f(x)-f(y)||, et je devais montrer que c'était un C1-difféomorphisme.
    J'ai rapidement pensé au théorème d'inversion globale, j'ai donc dit que je voulais l'utiliser ; j'ai ensuite remarqué que l'hypothèse implique que f est injective ; pour montrer la surjectivité j'ai montré que l'image de f était un ouvert-fermé (fermé par caractérisation séquentielle, ouvert grace au théorème d'inversion locale) ; comme il ne restait pratiquement plus de temps, une des membres du jury m'a demandé les hypothèses du théorème d'inversion globale, et de justifier pourquoi il fallait bien montrer que f était bijective.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Souriant, assez peu aidant, je réfléchissais parfois un peu à voix haute, mais peu d'intervention de leur part ; que ça soit pour me dire que je disais des bêtises ou que je partais bien. Au final, je pense que ça m'a servi, étant donné que j'ai malgré cela pu répondre à toutes leurs questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On a eu un peu moins de 3h de préparation ; quelques minutes de moins.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Développements proposés :
    - Prolongement analytique et existence des points singuliers au bord du disque de convergence d’une série entière
    - GLn(C) est dense ouvert connexe de Mn(C)

    Ils ont choisi le premier.

    Questions :

    -prouver le corollaire du prolongement analytique qu’on utilise tout le temps, bon malheureusement j’ai eu du mal à cette première question bêtement ...

    - questions rapides sur le développement

    - Connaissez vous le développement en série entière de Tangente en 0 ? Non mais je connais les premiers termes et je sais que la formule générale fait intervenir les nombres de Bernoulli

    - vous pouvez majorer le rayon de convergence de la série entière en 0 de tangente ?
    Oui par pi/2 en voyant tan(z) = sin(z)/cos(z) et cos(z) s’annule pas dans le disque D(0,pi/2)

    - et on pourrait montrer que c’est égal à pi/2 ?
    Oui en fait la limite de tangente en pi/2 c’est l’infini donc en pi/2 c’est pas défini donc le rayon peut pas être strictement plus grand

    - vous avez dit que Gln(R) était non connexe, pouvez vous citer des espaces de matrices qui seraient connexes (hors Gln(C)) ?
    Oui SLn(C) est connexe par arcs ça se montre avec les transvections et je sais que SLn(R) est connexe mais je sais pas le montrer

    - Et On(R) ?
    C’est pas connexe parce qu’il a deux composantes connexes On+ et On-

    - Montrer alors que O2+ est connexe
    On va montrer connexe par arcs, déjà O2+ c’est des matrices de rotations et donc on va montrer qu’on peut relier chaque matrice à l’identité : il faut prendre theta*t au lieu de theta dans l’expression de la matrice et c’est ok le chemin convient

    - Ensuite ils m’ont fait retrouver un théorème pour avoir l’implication entre f’ = 0 et f est constante. D’abord ils m’ont fait poser f : [0,1] dans R une fonction quelconque dérivable sur I = [0,(1/2)[ U ](1/2),1] et telle que f’ = 0 sur I.
    J’ai dit une bourde en disant que je pensais que f était constante sur I mais en fait ils m’on invité à faire un dessin et j’ai vite corrigé mon erreur en prenant une fonction qui valait 1 sur [0,(1/2)[ et qui vaut -1 sur ](1/2),1] et qui vérifie les hypothèses alors qu’elle n’est pas constante.
    Ensuite ils m’ont donc demandé qu’est ce qu’il manque pour avoir f constante et j’ai dit il faut que I soit un intervalle ils ont eu l’air de dire oui et m’ont fait écrire l’énoncé du théorème.

    - Ils m’ont demandé de généraliser le résultat dans R^2 : j’ai donc dit que dérivable devenait différentiable, « f’ = 0 » devient « les dérivées partielles sont nulles » et « I intervalle » devient « I est connexe » et ça a l’air de les avoir convaincu

    - Ensuite j’avais mis le théorème des valeurs intermédiaires dans mon plan sans dire le nom et je l’avais cité pour un espace métrique quelconque, on m’a demandé ce que ça donnait dans R muni de la distance usuelle j’ai dit que c’était le TVI et ils ont dit oui (bizarre comme question surtout que c’était vers la fin)

    - Pour finir on m’a fait poser f : R dans R une fonction croissante et I un intervalle de R. J’ai du montrer que l’image réciproque de I par f était un intervalle.
    Ils m’ont suggéré de montrer que f^(-1)(I) était convexe, ce qui se fait bien car f est croissante.
    J’ai terminé là dessus

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Souriant, un des membres hochait souvent la tête, ce qui met en confiance.
    Il aidait quand il fallait.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    12.25