(2016 : 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.)
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler.
Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?
On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.
Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.
Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.
Pas de réponse fournie.
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229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
A la suite du développement sur Kakutani : que peut on dire des sous groupes finis de GL2 ? Indication : on pourra utiliser le développement que vous venez de prouver... On se ramène aux sous groupes finis de O2. Puis comme sous-question : que peut on dire des sous groupes de SO2 ? On montre finalement qu'ils sont cycliques et puis rapidement pour le cas de O2 on dit que ça fait le diédral.
Etant donné deux matrices J=(1 1, 0 1), K = (1 1, -1 0), montrer qu'elles engendrent SL2(Z). Sous-question : est ce que les transvections engendrent SL2(Z) ? On adapte le pivot de Gauss pour montrer que oui, et en calculant J^n et JK on obtient toutes les transvections.
Des questions de topologie : pourquoi est ce que l'application inverse est un homéo ? Réponse avec la formule de la comatrice. Est ce un difféomorphisme ? Je pars dans les calculs de la différentielle en A pendant que le jury essaye de me faire remarquer que comme tout est polynomial, ça marche tout seul, et que pour montrer que la différentielle est bijective, il suffit de remarquer que l'application inverse est une involution.
Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans M_n(C). Pas trop eu le temps de finir la question, j'ai expliqué avec les mains qu'il faut perturber la matrice pour que le poly caract soit scindé à racines simples.
Une dernière question "pédagogique" : si vous enseignez cette partie à une classe, quels seraient les points délicats sur lesquels il faudrait insister ? Réponse : le lien avec la géométrie pour les petites dimensions, avec acquiescement du jury (notamment parce que j'ai pas mal galéré pour les sous groupes de SO2...)
Les questions étaient de niveau moyen, mais le jury n'était pas très attentif et blaguait beaucoup entre eux... Mais jury plutôt sympathique et enclin à aider.
Pas de questions sur le plan, et le jury qui semblait pas trop concentré pendant les questions.
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