Développement : Détermination du nombre de racines distinctes d'un polynôme

Détails/Enoncé :

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On montre dans ce développement que l'on peut calculer le nombre de racines réelles en fonction de la signature d'une forme quadratique bien définie.

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Recasages pour l'année 2024 :

144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
149 : Déterminant. Exemples et applications.

Autres années :

(2023) 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2023) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2023) 151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2023) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2023) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2022) 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2022) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2022) 151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2022) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2022) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2021) 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2021) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2021) 151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2021) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2021) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2020) 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2020) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2020) 151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2020) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2020) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2019) 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2019) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2019) 151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2019) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2019) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2018) 144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2018) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2018) 151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2018) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2018) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2017) 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2017) 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
(2017) 151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2017) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2017) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2016) 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2016) 171 : Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.
(2016) 151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2016) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.
(2016) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2015) 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2015) 171 : Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.
(2015) 151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2015) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2015) 152 : Déterminant. Exemples et applications.
(2014) 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
(2014) 171 : Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.
(2014) 151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
(2014) 159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
(2014) 152 : Déterminant. Exemples et applications.

Versions :

Version de anonyme

Auteur :
anonyme
Référence :
- The theory of matrices , Gantmacher
Fichier :
- nb-racines.pdf

Version de Marvin

Auteur :
Marvin
Remarque :
Merci à Nicolas pour les accolades de la matrice de ses morts qui furent embêtantes à mettre.
Référence :
- The theory of matrices , Gantmacher
Fichier :
- D_termination_du_nombre_de_racines_via_une_forme_quadratique.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

The theory of matrices , Gantmacher (utilisée dans 2 versions au total)