Leçon 144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 144 - Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.) Il s'agit d'une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent d'introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d'Alembert-Gauss et des applications des racines (valeurs propres, etc.). On pourra parler des applications de la réduction au calcul d'approximations de racines.

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Développements :

• Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)
• Détermination du nombre de racines distinctes d'un polynôme
• Théorème de d'Alembert-Gauss
• Théorème de Bézout faible (par le résultant)
• Théorème de Kronecker
• Théorème de Gauss (polygones constructibles)
• Galois inverse
• Structure des polynômes symétriques
• Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q
• Partition d'un entier en parts fixées
• Nullstellensatz via le résultant (théorème des zéros de Hilbert)
• Théorème de Lüroth [ref]
• Méthode de Newton pour les polyômes

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :