Développement : Fractions rationnelles et séries formelles

Détails/Enoncé :

Soit $S \in K[[X]] \setminus K[X]$ notée $\sum_{n \ge 0} a_n X^n$ avec $a_n \in K$ pour tout $n \ge 0$. Sont équivalents :

$\bullet$ La fraction rationnelle $S \in K(X)_0$.
$\bullet$ Il existe $ N \ge 1, m \ge N, \lambda_1 , \ldots , \lambda_N \in K$ telles que $\lambda_N \not= 0$ et $\forall n \ge m$ on a la relation $a_n - \lambda_1 a_{n-1} - \cdots - \lambda_N a_{n-N} = 0$.
$\bullet$ Il existe $N \ge 1$ telle que $\forall n \ge N$, $\det(A_n) = 0$ où $A_n = ( a_{i+j})_{ 0 \le i , j \le n } \in M_{n+1}(K)$.


Recasages pour l'année 2019 :

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