Développement : Minimum d'une fonction de n variables à l'aide du déterminant

Détails/Enoncé :

Référence : Exercice 3.40 p. 232 - Dugardin Rezzouk ou aussi Exercice 6 chap. 5 p. 268 - Algèbre, Gourdon

On note $\mathbf{E} = \mathbb{R}[X]$.
1) Vérifier que l'application $\langle \cdot , \cdot \rangle$ définie sur $\mathbf{E}$ par
\[
\langle P,Q \rangle = \int^{+ \infty}_{0} P(x)Q(x)e^{-x} d x
\]
est un produit scalaire.
2) Soient $n \in \mathbf{N}^{*}$ et $ \mathbf{F} = $ Vect$(X,X^{2},\dots, X^{n})$. On note $Q$ la projection orthogonale du polynôme $1$ sur $\mathbf{F}$. Calculer
\[
\mu = \inf_{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n} \left\lbrace \int^{+ \infty}_{0} (1 + x_1t + x_2t^2 + \dots + x_nt^n)^{2}e^{-t} dt \right\rbrace
\]
Remarque : Cet exercice est à rapprocher du problème du tome d'analyse portant sur le théorème de Müntz.

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