Développement : Une classe de séries lacunaires sans dérivées

Détails/Enoncé :

Soit $\Lambda = (\lambda_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite lacunaire de réels, $\sum \varepsilon_n$ une série absolument convergente de complexes et $f : \mathbb R \to \mathbb C$ la fonction définie par la série normalement convergente
$$ \forall t \in \mathbb R, \ f(t) = \sum_{n = 0}^{+\infty}\varepsilon_n e^{i\lambda_n t}$$
Si $f$ est dérivable en au moins un point, alors $\varepsilon_n \underset{n \to +\infty}{=} o(\frac1{\mu_n})$.

Par contraposé, si $\sum \frac1{\mu_n} < +\infty$ et s'il existe une constante $|\varepsilon_n| > \frac{\delta}{\mu_n}$ pour tout $n$, alors la fonction $f$ est partout non dérivable.

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  • Remarque :
    Tout est dans le livre à la fin du chapitre sur les séries de Fourier (p111 dans l'édition 4 je crois) attention d'une édition à l'autre la preuve diffère, je préfère personnellement la présentation donnée dans l'édition 4. Autrement c'est un très beau résultat que tous mes enseignants ont beaucoup apprécié jusque là.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 162 versions au total)