Développement : Suites de Sturm [no pdf]

Détails/Enoncé :

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et $a < b$ tel que $P(a) \not= 0$ et $P(b) \not=0$. Le nombre de racines réelles distinctes de $P$ dans $[a,b]$ est $V(a) - V(b)$ où $V$ est une fonction définie à l'aide des suites de Sturm de $P$.

Une suite de Sturm est définie ainsi : on pose $S_0 = P$ et $S_1 = P'$. Pour tout $i \ge 2$, on définit $S_i$ par récurrence par la formule $S_{i-1} = A_i S_i - S_{i+1}$ avec $deg(S_{i+1}) < deg(S_i)$ tant que c'est possible. On définit
\[
V(x) = \{ (i,j) \colon 0 \leq i < j \leq p, S_i(x) S_j(x) < 0 \text{ et } S_k(x) = 0 \text{ si } i < k < j \}
\]

Réf : Algèbre 1, Francinou Gianella Nicolas

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