Leçon 142 * : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

(2018) 142
(2020) 142

Dernier rapport du Jury :

(2018 : 142 - PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.) Il est bien clair que le champ d’étude ne peut se limiter au cas de Z; il s’agit de définir et manipuler les notions de PGCD et PPCM dans un anneau factoriel et comme générateurs de sommes/intersections d’idéaux dans un anneau principal. Le candidat devra prendre soin de différencier le cadre théorique des anneaux factoriels ou principaux dans lequel sont définis les objets et dans lequel s’appliquent les énoncés des théorèmes proposés et le cadre euclidien fournissant les algorithmes. Bien sûr, la leçon peut opportunément s’illustrer d’exemples élémentaires d’anneaux euclidiens, comme $Z$ et $K[X]$. La leçon doit accorder une part substantielle à la présentation d’algorithmes : algorithme d’Euclide, algorithme binaire, algorithme d’Euclide étendu. Dans le cas des polynômes, on étudiera l’évolution de la suite des degrés et des restes. Il est important de savoir évaluer le nombre d’étapes de ces algorithmes dans les pires cas et on pourra faire le lien avec les suites de Fibonacci. La leçon abordera des applications élémentaires : calcul de relations de Bézout, résolutions d’équations diophantiennes linéaires, inversion modulo un entier ou un polynôme, calculs d’inverses dans les corps de ruptures, les corps finis. On peut aussi évoquer le théorème chinois effectif, la résolution d’un système de congruences et faire le lien avec l’interpolation de Lagrange. Pour aller plus loin, on pourra évoquer le rôle de algorithme d’Euclide étendu dans de nombreux algorithmes classique en arithmétique (factorisation d’entiers, de polynômes, etc). Décrire l’approche matricielle de l’algorithme d’Euclide et l’action de $SL_2(Z)$ sur $Z^2$ est tout à fait pertinent. On pourra établir l’existence d’un supplémentaire d’une droite dans $Z^2$, ou d’un hyperplan de $Z^n$, la possibilité de compléter un vecteur de $Z^n$ en une base. La leçon peut amener à étudier les matrices à coefficients dans un anneau principal ou euclidien, la forme normale d’Hermite et son application à la résolution d’un système d’équations diophantiennes linéaires. Aborder la forme normale de Smith, et son application au théorème de la base adaptée, permet de faire le lien avec la réduction des endomorphismes via le théorème des invariants de similitude. La leçon invite aussi, pour des candidats familiers de ces notions, à décrire le calcul de PGCD dans $Z[X]$ et $K[X,Y]$, avec des applications à l’élimination de variables. On pourra rappeler les relations entre PGCD et résultant et montrer comment obtenir le PGCD en échelonnant la matrice de Sylvester. Sur l’approximation diophantienne, on peut enfin envisager le développement d’un rationnel en fraction continue et l’obtention d’une approximation de Padé-Hermite à l’aide de l’algorithme d’Euclide, la recherche d’une relation de récurrence linéaire dans une suite ou le décodage des codes BCH.

Plans/remarques :

2019 : Leçon 142 - PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.


2018 : Leçon 142 - PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Retours :
    - Présenter la def du pgcd/ppcm naturelle en premier.
    - Inverser la présentation des anneaux (Euclidien => principal => factoriel), pour mieux montrer les différences dans les propriétés.

    Remarque : la fin du dvp proposé est trop rapide
  • Fichier :

Retours d'oraux :

2019 : Leçon 142 - PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Leçon choisie :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme d'Euclide étendu et complexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a posé quelques questions pour bien refixer les hypothèses de ma leçons. Puis est passé à une lecture plus approfondie du plan.
    Après quelques questions pour me demander si je pouvais un peu plus généraliser certains résultats de mon plan ou les réécrire pour éviter d'utiliser des termes partant un peu trop loin (comme ensemble réticulé, pour définir pgcd et ppcm), l'un des jury a remarqué (à voix haute) que mon plan manquait d'exemple.
    La fin de l'échange a donc été constitué de recherche de contre-exemples à mon plan (Donner un idéal non-monogène de Z[X], par exemple).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique, bien que peu souriant. Bien que l'un d'entre eux semblait commencer à se tendre vers la fin, ils m'ont tous les trois encouragés à avancer lorsque je touchais une corde sensible de leurs questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été beaucoup plus rapide lors de cette préparation qu'au moment de mes oraux blancs. Pour autant, il ne faut pas prendre tout son temps ;).
    Le jury me mettait étrangement en confiance et était très apaisant (moi qui ai eu à résoudre de gros soucis de stress, à côté du travail propre au concours). Cette dernière remarque concerne d'ailleurs l'ensemble de mes épreuves !

  • Note obtenue :

    10