Développement : Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications

Détails/Enoncé :

On démontre les résultats suivants.

1) Les connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.

2) [TVI] Soit $X$, un espace topologique connexe et $f : X\to\mathbb{R}$ continue. Alors $f(X)$ est un intervalle. En particulier, s'il existe $x,y\in X$ tel que $f(x)f(y)\le 0$, alors il existe $z\in X$ tel que $f(z)=0$.

3) [TAF] Soit $a $$
\forall t\in ]a,b[, \Vert f'(t)\Vert \le g'(t).
$$
Alors
$$
\Vert f(b)-f(a)\Vert \le g(b)-g(a).
$$

4) Application : Soit $U$, un ouvert de $E$ connexe. Soit $f : U\to E$ différentiable telle que $Df=0$. Alors $f$ est constante.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    C'est un développement juste pour la connexité qui démontre des résultats fondamentaux du plan, bien qu'élémentaire (ce n'est pas pour autant facile). On trouve des choses similaires dans le Gourdon.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 449 versions au total)