On démontre les résultats suivants.
1) Les connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.
2) [TVI] Soit $X$, un espace topologique connexe et $f : X\to\mathbb{R}$ continue. Alors $f(X)$ est un intervalle. En particulier, s'il existe $x,y\in X$ tel que $f(x)f(y)\le 0$, alors il existe $z\in X$ tel que $f(z)=0$.
3) [TAF] Soit $a
$$
\forall t\in ]a,b[, \Vert f'(t)\Vert \le g'(t).
$$
Alors
$$
\Vert f(b)-f(a)\Vert \le g(b)-g(a).
$$
4) Application : Soit $U$, un ouvert de $E$ connexe. Soit $f : U\to E$ différentiable telle que $Df=0$. Alors $f$ est constante.