Développement : Convergence d'une suite lente

Détails/Enoncé :

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $0$ vérifiant $f(x)=x-\alpha x^{p+1}+\beta x^{2p+1}+o_{x\to 0}(x^{2p+1})$ avec $\alpha\in\mathbb{R}_+^*, \beta\in\mathbb{R}^*, p\in\mathbb{N}^*$. Alors il existe $\eta>0$ tel que $f([0,\eta])\subset [0,\eta]$ et en posant $u_0\in ]0,\eta]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, si $\gamma:= \dfrac{(1+p)\alpha^2}{2}-\beta\neq 0$, on a
$$
u_n = \left(\dfrac{1}{pn\alpha}\right)^{1/p}-\dfrac{\gamma}{p^2\alpha^2}\left(\dfrac{1}{pn\alpha}\right)^{1/p}\dfrac{\ln(n)}{n}+o_{n\to+\infty} \left(\dfrac{\ln(n)}{n^{1+\frac{1}{p}}}\right).
$$

On l'applique, si on a le temps, à $f=\sin,\tan,\ln(1+\cdot),\sinh, etc.$.

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Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 58 versions au total)