Leçon 243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

(2021) 243
(2023) 243

Dernier rapport du Jury :

(2022 : 243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il faut se garder de présenter un interminable catalogue de définitions, règles et propriétés accompagnées de quelques rares exemples triviaux. Le problème du domaine de convergence devra bien sûr être abordé, ainsi que celui des différents modes de convergence. Les liens avec l'holomorphie doivent être connus et compris. En particulier, peu de candidats ont les idées claires sur les liens entre analycité et holomorphie. Or, l'existence de nombreux développements en série entière peut être établie de manière immédiate par cet argument, avec en prime une information sur le rayon de convergence, voire sur l'ordre de grandeur des coefficients. Le théorème radial (ou non tangentiel) d'Abel est souvent proposé comme développement, mais de nombreux candidats pensent qu'il s'agit d'un théorème de prolongement, alors qu'il s'agit en réalité d'un résultat de continuité. En proposer comme application le calcul de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ n'est pas absolument pertinent, ce résultat pouvant être obtenu par un argument beaucoup plus direct. En réalité, ce théorème débouche naturellement sur la question plus générale des procédés de sommation des séries divergentes. Les séries entières ont également des applications combinatoires pouvant donner lieu à des études asymptotiques très intéressantes. Les fonctions génératrices des variables aléatoires à valeurs entières ont également toute leur place dans cette leçon. Les candidats solides pourront s'intéresser aux théorèmes taubériens relatifs aux séries entières, au problème du prolongement analytique de la somme d'une série entière, aux séries entières aléatoires ou encore aux fonctions $C^\infty$ nulle part analytiques.

(2019 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Cette leçon est réformulée pour la session 2020 en $\\$ Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif de clarifier les attendus, dont font partie les propriétés élémentaires des séries entières. Trop de candidats hésitent sur les différentes notions de convergence, les notions de disque de convergence et des domaines où il y a convergence normale ; un effort de préparation doit être fait sur ces notions afin de lever toute imprécision. $\\$ Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule deCauchy-Hadamard ou toute technique utilisant une majoration ou un équivalent. Des faiblesses importantes ont été observées quant à ces techniques. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $\textbf{R}$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes (exp, log, $1/(1-z)$, sin,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de0sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. Le théorème d’Abel(radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On peut aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière ou encore la résolution de certaines équations différentielles ordinaires par la méthode du développement en série entière.
(2017 : 243 - Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé. Le théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
(2016 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. ) Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est R est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$, ...). Le jury attend également que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus. Le théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
(2015 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Le théorème d'Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d'exercices pertinents. Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. Le jury attend aussi que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu'une série entière en $0$ dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en $0$ en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série.
(2014 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé.

Développements :

Plans/remarques :

2022 : Leçon 243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2020 : Leçon 243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2019 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2018 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2017 : Leçon 243 - Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.


2016 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2022 : Leçon 243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème d'Abel angulaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Dév : bien passé, ils m'ont fait corrigé une erreur de signe (lors de la transformation d'Abel) et précisé quelques points.
    Mon application était la convergence d'une série altérnée vers pi/4 en passant par l'arctangente.
    Q : Êtes-vous sûr pour votre DSE de arctan ? (puissance 2n au lieu de 2n+1 , je m'empresse (erreur) de remplacer 2n par n )
    Q : La fonction arctan est ? R: impaire Q : Et remplacer 2n par n la rend impaire ? R: *je remplace n par 2n+1*
    Q : On va remontrer que c'est bien le DSE de arctan. Dérivez le DSE donné.
    R : Je dérive terme à terme sur l'intervalle de convergence ]-1,1[, j'obtiens bien 1/(1+x^2) = arctan'(x)
    Q : Comment concluez-vous ? Que vaut arctan en 0 ? Quel est le premier terme du développement ?
    R : les deux fonctions ont même dérivée et coïncident en un point Q: Lequel ? R: 0

    Q : Dans le théorème d'Abel, si on suppose le terme général (a_n)_n positif, que peut-on dire ?
    R : Je tente de le faire par le théorème de convergence monotone, avec comme fonctions positives les suites (a_nx^n)_n , mesurables pour la mesure de comptage, en voyant la somme de la série comme intégrale de ces fonctions pour cette mesure ; fonctions qui tendent chacune en croissant avec le paramètre x>0 quand x->1 vers la suite (a_n)_n dont l'intégrale est la somme .
    *je me retourne, vois le jury froncer les sourcils, et crois entendre un "inutilement compliqué" qui s'échappe de leurs messes basses*
    Q : Pouvez-vous donner le théorème de convergence monotone et expliquer comment vous l'utiliser ?
    R : Je donne le théorème, et je dis que je ne peux l'appliquer tel quel car il s'applique à une suite de fonctions (et pas à une famille de fonctions dépendant d'un paramètre continu, ici les suites ( (a_nx_n)n )_x dépendant de x>0 )
    Q : Adaptez la situation.
    R : je remplace x -> 1 par une suite x_m -> 1
    Q : ok, comment concluez-vous ?
    R : *j'hésite , je ne suis plus sûr si c'est suffisant, je réécris en termes simples ce que ça veut dire*
    jury : oui c'est simplement une caractérisation de la convergence
    [caractérisation en question : si f fonction et pour toute suite x_m -> 1 : f(x_m) -> S alors f(x) -> S quand x-> 1]

    Q : Vous donnez un exemple de deux séries de rayon de convergence fini dont le produit de Cauchy est de rayon infini, avez-vous fait le calcul ? [Spoiler non] [contre-exemple du Hauchecorne]
    R : Je l'ai fait il y a longtemps, *je refais le calcul, je m'embrouille, stresse, m'empresse et finis par écrire n'importe quoi*
    Q : Gardez votre calme et reprenez votre ligne
    R : *je m'empresse de barrer les énormités, j'arrive à conclure laborieusement avec l'aide du jury*
    Q : La fonction obtenue par le produit de Cauchy, elle est ?
    R : constante

    Q : Vous donnez un exemple de série entière de rayon 1 qui converge en -1 et diverge en 1 [série des (-1)^nz^n ]; savez-vous ce qui se passe ailleurs sur le disque ?
    R : comme ça je ne sais pas, *j'écris la série pour e^it sur le cercle unité, donc série des e^itn / n*
    Q : Si vous l'écrivez en partie réelle et imaginaire (*m'empresse de le faire* [série des cos nt / n]), savez-vous des choses sur ces suites ? Ou à propos du critère d'Abel ?

    Le jury essaye de me faire utiliser le critère d'Abel que je ne connais pas, j'hésite à improviser un énoncé venant d'un souvenir vague et lointain mais j'y renonce. Le jury essaye de me refaire faire des transformations d'Abel sur cette série (en me rappelant que j'en ai faite une dans mon dév) mais le temps ne me laisse pas aller plus loin.

    Dernière micro-question : comment justifier la proposition donnant la dérivée (terme à terme) d'une somme d'une SE ?
    R : la série entière des dérivées terme à terme à même rayon de convergence, donc converge normalement sur tout disque fermé inclus dans le disque de CV de la série de départ, donc un théorème sur les séries de fonctions permet de conclure. jury : ok

    Résumé : Beaucoup d'étourderies, à commencer par l'oubli de la convocation en salle de préparation (petit aller retour de 3étages en guise d'échauffement), je n'ai pas pris bien le temps de bien relire mon plan donc je n'ai pas repassé quelques passages écrits au crayon, et j'ai oublié de donner un titre à la partie I (je l'ai donné dans la défense), oubli de signer le petit papier rose...

    Conclusion : Bien prendre 5 minutes pour relire le plan; peut-être avant de préparer son speech (ce qu'on peut faire y compris après avoir rendu le plan pendant les photocopies, mais sans les bouquins et je crois sans stylo).

    Content pour mon dév que j'ai bien présenté, un peu moins pour les questions.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très bienveillant et m'a rassuré a plusieurs moments.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2020 : Leçon 243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Partition d'un entier en parts fixées

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Ce retour concerne la session de 2021.

    Ce tirage était exactement le pire tirage possible dans mon cas. J'avais naturellement fait l'impasse sur les équa diff et en plus de ça, je n'ai pas pu préparer ces deux leçons que j'ai tirées. N'importe quoi d'autre m'aurait convenu, mais on a pas toujours ce qu'on veut j'imagine. J'ai dû improviser l'un des deux développements et le jury a choisi celui-là (évidemment, sinon c'est pas drôle).

    J'ai fait un plan très simple en deux parties : d'abord les propriétés des séries entières (définition + CV, régularité, unicité des coefficients ... bref, les trucs de base) puis une deuxième partie sur deux applications : mes développements.

    Malgré le fait que j'ai découvert le développement 30 minutes avant de le présenter, j'ai pu le défendre à une erreur de calcul près. Le jury m'a fait corriger cette erreur par la suite.

    Voilà les questions qui m'ont été posées :

    - Le lemme d'Abel concernant les séries entières à coefficients positifs marche-t-il toujours si on ne suppose plus la positivité des coefficients ? (Si seulement)

    - Et si on suppose $f$ développable en série entière, de rayon de convergence 1, tq $\sum_n a_n$ converge, est-ce que $f$ admet une limite en $1$ et si oui, quelle est-elle ? (Y a pas de piège)

    - Enoncer la formule de Taylor-Lagrange.

    - Expliciter un exemple de mon plan (on le trouve dans Hauchecorne au chapitre séries entières : deux séries entières de rayon de convergence fini dont le produit est de rayon infini)

    - Soit $(a_n)$ une suite réelle tq la série de terme général $a_n^2$ converge. Pour $t$ dans $\left[-1/2,1/2 \right]$ on pose $f(t) = \sum_n \frac{a_n}{n-t}$. La fonction $f$ est-elle définie et est-elle développable en série entière en 0 ? (30 secondes après que la question m'a été posée, une autre membre du jury a dit "on va s'arrêter là, il n'y a plus de temps" donc je n'ai pas eu l'occasion de dire grand chose sur le sujet)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était assez neutre. Une des membres souriait de temps en temps (en tout cas ses yeux souriaient, sinon elle portait un masque. Covid, tout ça).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas grand chose à dire sur la préparation si ce n'est qu'elle dure 2h45. C'est peut-être un peu bête mais je le dis quand même : préparez-vous à différents types de tableaux. On m'avait dit que les tableaux aux oraux risquaient d'être tout petits et je me suis préparé en conséquence. Il se trouve que le tableau que j'ai eu était d'une taille tout à fait raisonnable. Il était peut-être un peu haut cela dit.

    En dehors de ça, je ne souhaite à personne de vivre ce moment où vous réalisez que vous n'avez préparé aucune des deux leçons tirées. Ceci dit, si ça vous arrive, essayez de ne pas paniquer : vous devriez connaître quelques références sur le sujet. Faites un plan simple, mettez les bases (le rapport du jury aide pour ça), mettez vos développements et c'est déjà pas mal.

    Il s'agissait de mon premier oral. Autant dire que j'en suis sorti extrêmement dépité. Même si j'avais su répondre aux questions et que je maîtrisais un minimum le sujet, je m'attendais à avoir une très sale note. J'ai été agréablement surpris. Conclusion : même si vous pensez avoir foiré, persévérez !

  • Note obtenue :

    14.25


2018 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Hardy

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Un membre du jury m'a posé une question sur développement, relative à un théorème d'interversion limite simple/série, il y avait des histoires de convergences uniformes.
    — Ensuite, ils sont passés aux questions. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre.
    — Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite.

    Le couplage que j'ai pioché était loin d'être très favorable pour moi, donc j'ai utilisé principalement le Gourdon pour mon plan, et ça a abouti à un plan modeste, et donc des questions de niveau modeste également.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très apaisant et bienveillant, même si j'ai été très laborieux à de nombreuses reprises. Ils sont peu intervenus dans mes phases de recherche, mais m'ont pas mal guidé lorsque je faisais des calculs — et ils m'ont un peu moqué quand j'ai dit que le sin(0) = 1…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    7.25


2017 : Leçon 243 - Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace de Bergman du disque unité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - sur le développement, on m'a demandé de trouver une CNS sur les coefficients du développement en série entière de f autour de 0 pour que f soit dans l'espace de Bergman (réponse : si $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$, la CNS est $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n|a_n|^2 <+\infty$)
    - une série entière de rayon de convergence 1 converge-t-elle uniformément sur tout le disque ? (c'est possible, cf $\sum \frac{z^n}{n^2}$, mais pas vrai en général, cf $\sum z^n$)
    - dans le thème de cette question, on m'a demandé de déterminer les $z$ de module 1 tels que $\sum \frac{z^n}{n}$ converge (faire une transformation d'Abel)
    - quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{cos n}{n!}\right) z^n$ ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était sympa mais insistant quand je ne trouvais pas, ils aidaient pas mal.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    8.75


2016 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    233 : Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai eue des questions sur le plan (notamment sur des propositions fausses que j'ai corrigé à l'oral) et sur la convergence de mes contre exemples de séries qui convergeaient ou non sur leur disque de convergence (trouvé dans le Hauchecorne)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt pas content mais pas méchants. Le jury a pas du tout apprécié l'exemple du Gourdon d'utilisation du théorème d'Abel car il y a plus simple que ça pour le résoudre (et il me l'on demandé en questions). Aussi, du au stress j'ai mal définis les Ek dès le début de mon développement donc ils m'ont arrété (et redemandé une définition plus rigoureuse en nommant mes partitions à la fin du développement). Aussi, ça a perturbé le jury que mes indices k et n soient inversés àla fin de ma preuve par rapport à l'énoncé.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Mon développement à duré trop longtemps (17 min avec leur intervention) mais ils me l'on dit et m'ont laisser quand même conclure (donc c'est cool, ils étaient pas à la minute près). Sinon c'est long 20 min de questions, ça ressemble beaucoup aux oraux de concours je trouve.
    PS: j'ai pas encore ma note (je pense que ça se voit)

  • Note obtenue :

    20


2015 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    217 : Sous-variétés de $R^n$. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème taubérien fort

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que exercices sur le plan.

    Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices)

    Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$

    Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV?

    Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le plan puis quelques exos.
    - prouver le critère d'Abel implique celui de Cauchy

    - si $f$ est DSE de rayon de convergence $R\textgreater0$ et si $r\textlesserR$, calculer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left|\ f\left(r\ e^{i\theta}\right) \right|^{2} \, \mathrm{d}\theta$

    Dans le cas où $R\textgreater1$ et les coefficients du DSE sont entiers, montrer que $f$ est un polynôme

    - si $\Sigma\ a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence non nul, que peut-on dire de celui de $\Sigma\ \frac{a_{n}z^{n}}{n!}$ ?

    - époque et motivation des séries entières ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 56 versions au total)
Cours de mathématiques, Tome 3 : Compléments d'analyse, Arnaudiès, Fraysse (utilisée dans 2 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 38 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 46 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 400 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 45 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 50 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 57 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 162 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 23 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 39 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 214 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 115 versions au total)
Methodix Analyse, Merlin, Xavier (utilisée dans 1 versions au total)