Développement : Théorème d'Abel angulaire

Détails/Enoncé :

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière, de rayon de convergence $1$. On note $f(z)$ la somme de cette série entière sur $D = D(0,1)$. On suppose que $\sum a_n$ converge. On note $S = \sum a_n$. Soit $\theta_0 \in [0, \pi/2[$.
On note

$$ \Delta_{\theta_0} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \text{ et } 1-z = \rho e^{i \theta} \text{ où } \rho > 0 \text{ et } \theta \in [-\theta_0 , \theta_0] \} $$

Sous ces hypothèses, $f(z) \to S$ lorsque $z $ tend vers $1$ en restant dans $\Delta_{\theta_0}$.

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

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    J'ajoute comme application (plus générale que celle de Gourdon) $\sum_{n=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}}{n} = -\log(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})$ pour $0<\theta<2\pi$.
  • Référence :
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement plutôt sympa et pas très compliqué.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 554 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 307 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 149 versions au total)