Développement : Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible

Détails/Enoncé :

Soit $(\sum a_n z^n)$ une série entière de rayon supérieur à 1 dont on note $f$ la somme.


Théorème [Abel angulaire] :
On note $D = \{ z \in \mathbb{C} \colon |z| \leq 1 \}$. Soit $\theta_0 \in ]-\pi/2, \pi/2[ $. On note $\Delta_{\theta_0}$ l'ensemble $\{ 1 - \rho e^{i\theta} \in D \colon \rho >0, \theta \in [-\theta_0, \theta_0] \}$. Si la somme de la série $\sum_{n \geq 0} a_n$ existe et est finie, alors en la notant $l$, on a :
\[
\lim_{z \to 1, z \in \Delta_{\theta_0}} f(z) = l
\]

Théorème [Taubérien faible] :
TODO

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 207, 230 et 241.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
  • Fichier :