Développement : Théorèmes d'Abel angulaire et taubérien faible

Détails/Enoncé :

Soit $(\sum a_n z^n)$ une série entière de rayon supérieur à 1 dont on note $f$ la somme.


Théorème [Abel angulaire] :
On note $D = \{ z \in \mathbb{C} \colon |z| \leq 1 \}$. Soit $\theta_0 \in ]-\pi/2, \pi/2[ $. On note $\Delta_{\theta_0}$ l'ensemble $\{ 1 - \rho e^{i\theta} \in D \colon \rho >0, \theta \in [-\theta_0, \theta_0] \}$. Si la somme de la série $\sum_{n \geq 0} a_n$ existe et est finie, alors en la notant $l$, on a :
\[
\lim_{z \to 1, z \in \Delta_{\theta_0}} f(z) = l
\]

Théorème [Taubérien faible] :
TODO

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

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  • Remarque :
    D'après moi pour les leçons : 207, 230 et 241.

    NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties "faciles" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
    J'écris assez mal également, toutes mes excuses.
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  • Remarque :
    En fonction du temps que vous avez, le théorème d'Abel angulaire seul peut déjà constituer un développement suffisamment long.
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  • Remarque :
    Développement qu'il faut faire sous substance illicite afin de le faire tenir en 15 minutes :-)
    Plus sérieusement, il faut vraiment s'entraîner à le faire en condition réelle. Il peut tenir mais faut pas hésiter et savoir ce que l'on fait. À noter que la fin du Gourdon peut être améliorée d'après un ami mais que je ne sais plus (de toute façon l'analyse c'est fini pour moi).

    Attention aux coquilles !
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 401 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 238 versions au total)