Développement : Expression des zeta(2k)

Détails/Enoncé :

$\forall k\in\mathbb{N}^*,\quad \zeta(2k)=(-1)^{k-1}\dfrac{(2\pi)^{2k}}{2.(2k)!}b_{2k}\in\pi^{2k}\mathbb{Q} \quad$ (où $b_n$ est le n$^{ème}$ nombre de Bernoulli).

Recasages pour l'année 2025 :

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    Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
    Référence sur le document.
    Attention aux éventuels coquilles.
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    Version manuscrite, désolée pour l'écriture .

    Encore un développement que j'ai du abrégé car je ne rentrais pas dans les 15 minutes. Je présentais donc juste le calcul du DSE de la fonction, et gardais l'application à la fonction de zeta pour les questions.

    Je l'ai uniquement placée dans la leçon sur les série de Fourier mais je pense que c'est un bon développement et qu'il mérite d'être présent dans plus de leçon.

    Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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    Développement très calculatoire. Je trouvais le résultat joli, mais cette preuve est infâme, et inintéressante de mon point de vue. Étant extrêmement nul en calculs, j'ai dû le répéter un très grand nombre de fois avant de la maîtriser. Et puisque je n'arrivais pas à la faire en quinze minutes, j'étais obligé de court-circuiter certaines étapes de calcul pour finir dans les temps. Si comme moi vous détestez les calculs, fuyez ce développement.
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    Recasages: 230, 235, 241, 243, 246

    Attention: j'invoque le théorème de Mertens pour faire le produit de Cauchy, or on a bien la convergence absolue de la 1ère série puisqu'il s'agit d'une série entière.

    Dév assez calculatoire mais pas si compliqué dans le fond si on s'entraîne bien dessus. En terme de temps, je n'ai pas réussi à aller plus qu'à exprimer les zeta(2k) en fonction des nombres de Bernoulli. On peut dire à l'oral que ceux-ci sont rationnels via un produit de Cauchy et une formule de récurrence.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 74 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 25 versions au total)