Leçon 213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

(2020) 213
(2022) 213

Dernier rapport du Jury :

(2019 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. Toutefois cette année, le jury se réjouit d’avoir pu constater de réels efforts sur ce point. La formule de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gram-Schmidt. La leçon doit être illustrée par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, entre autres). $\\$ Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules $$ x = \sum_{n\geq 0} (x|e_n)e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n\geq 0} |(x|e_n)|^2 $$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathcal{N}}$ et en justifiant la convergence. La notation $\sum_{m \in \mathcal{Z}}$ doit être manipulée avec précaution : beaucoup de candidats l’introduisent mais sans en maîtriser les subtilités. $\\$ Si le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné, ses conséquences les plus directes (théorème de projection de Riesz, orthogonal de l’orthogonal et densité d’un sous-espace via la nullité de son orthogonal,...) le sont malheureusement nettement moins. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut alors être introduite et, pour aller plus loin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut alors être abordé. $\\$ Pour aller plus loin dans une autre direction, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. La construction de l’espace de Hilbert–Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ pourra donc éventuellement être abordée, ainsi que le théorème de Lax-Milgram avec des applications pertinentes. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée.

(2017 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier ,...). Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules \[ x = \sum_{n \ge 0} (x |e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} |(x | e_n)|^2 \] en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in N}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
(2016 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications. ) Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, . . .). Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules $$ x = \sum_{n \ge 0} (x | e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} | (x|e_n)|^2 $$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le difficile théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
(2015 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l'interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, ... ). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n\ge 0} (x |e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N})$ en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
(2014 : 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.) Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée. Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé.

Plans/remarques :

2020 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


2018 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert . Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


2017 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


2016 : Leçon 213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

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Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 100 versions au total)
Analyse numérique et optimisation : une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique, Allaire (utilisée dans 34 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 72 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 73 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 275 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 567 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 212 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 29 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 311 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 53 versions au total)