Développement : Étude d'une norme dans un Hilbert

Détails/Enoncé :

Soit $E$ un espace de Hilbert complexe. Pour $T\in \mathcal L(E)$, on note $n(T) := \sup \{|(Tx,x)|, \, ||x||=1\}$. Pour tout $T \in \mathcal L(E)$, on a $n(T)\leq ||T|| \leq 2n(T)$. Ainsi, $n$ est une norme sur $\mathcal L(E)$, équivalente à $||\cdot ||$.

Si $T$ est auto-adjointe, on a $n(T) = ||T||$.

La constante $2$ est optimale dès lors que $\operatorname{dim}(E) \geq 2$.

L'inégalité $||T|| \leq 2n(T)$ est fausse si $E$ est un Hilbert réel de dimension $ \geq 2$.

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