Développement : Permutations alternantes

Détails/Enoncé :

Référence : Exercice 1.20 p. 45 - Dugardin, Rezzouk

Soit $n \geqslant 2$. On dit que $\sigma \in \mathcal{S}_n$ est alternante (ou en zig-zag) montante (resp. descendante) lorsque
$$
\sigma(1) < \sigma(2) > \sigma(3) < \sigma(4) > \dots \text{ (resp. } \sigma(1) > \sigma(2) < \sigma(3) > \sigma(4) < \dots \textbf{)}
$$
1) Montrer qu'il y a autant de permutations alternantes montantes que descendantes.

2) On note $a_n$ le nombre de permutations montantes, et l'on pose $a_0 = a_1 = 1$. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$
$$
2a_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_k a_{n-k}
$$
3) On pose $f(x) = \underset{n \geqslant 0}{\sum} \dfrac{a_n}{n!} x^n$. Montrer que le rayon $R$ de cette série entière est $ \geqslant 1$ et que pour tout $x \in ]-R,R[$,
\[
f(x) = \tan(x) + \dfrac{1}{\cos(x)}
\]
5) Donner le rayon de cette série entière.

6) Quelle est la probabilité pour qu'un permutation de $\mathcal{S}_{10}$ tirée au hasard soit alternante? [NdL : ils y répondent grâce à un programme python et non par la théorie]

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