Développement : Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente

Détails/Enoncé :

Soient $E$ un espace de Banach et $F$ un espace vectoriel. On munit $L_C(E,F)$ de la norme subordonnée $|||f||| = \sup_{ ||x||_E = 1} ||f(x)||_F$. Soit $H \subseteq L_C(E,F)$. Alors ou bien $H$ est bornée (c'est-à-dire qu'il existe $M >0$ telle que $\forall f \in H, |||f||| < M$ ) ou bien il existe $\Omega$ un $G_\delta$ dense de $E$ tel que $\forall x \in \Omega$, $\sup_{ f \in H} || f(x)||_F = +\infty$.

On utilise ce résultat pour obtenir un exemple de série de Fourier divergente.

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    Pour l'application.

    Énoncé :
    -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$,
    $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.)
    -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$,
    l'ensemble
    $$
    \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty
    \right\}
    $$
    soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse , Gourdon (utilisée dans 412 versions au total)
Topologie. Espaces fonctionnels , Tisseron (utilisée dans 3 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 59 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 131 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 28 versions au total)