Leçon 205 : Espaces complets. Exemples et applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 205 - Espaces complets. Exemples et applications.) Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiel de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de CauchyLipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L_p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. Le théorème de Baire trouve naturellement sa place dans cette leçon, mais il faut l'accompagner d'applications. Rappelons que celles-ci ne se limitent pas aux théorèmes de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, mais qu'on peut évoquer au niveau de l'agrégation l'existence de divers objets : fonctions continues nulle part dérivables, points de continuité pour les limites simples de suites de fonctions continues, vecteurs à orbite dense pour certains opérateurs linéaires, etc. Les candidats prendront toutefois garde à ne pas présenter des applications de ce théorème au dessus de leur force.

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Développements :

• Théorème de Banach-Steinhaus et série de Fourier divergente
• Théorème de l'application ouverte
• Théorème de Cauchy-Lipschitz local
• Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
• Théorème de Morgenstern
• Densité des fonctions continues nulles part dérivables
• Optimisation dans un Hilbert
• Caractères linéaires continues de U [ref]
• Théorème d'inversion locale
• Injection compacte dans les espaces de Sobolev
• Théorème de Lax-Milgram et une application

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :