Développement : L'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes

Détails/Enoncé :

On note
$$
W = \left\{ f \in \mathrm{L}^1_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}) \text{ } \left \vert \text{ } \Vert f \Vert_W := \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)| < +\infty \right. \right\}
$$
l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes. Dans ce développement, je propose de montrer que l'algèbre de Wiener $(W,+, \cdot, \times, \Vert \cdot \Vert_W)$ est isomorphe isométriquement à l'algèbre de Banach $\left(\ell^1(\mathbb{Z}),+,\cdot, \star, \Vert \cdot \Vert_1\right)$ munie de la convolution discrète $\star$ définie ainsi :
$$
\forall u,v \in \ell^1(\mathbb{Z}), \quad (u\star v)_n = \sum_{j \in \mathbb{Z}} u_j v_{n-j}.
$$
Cela permettra de résoudre certaines équations différentielles linéaires sur $\ell^1(\mathbb{Z})$. Pour la leçon 209, je propose de prouver le théorème de Wiener disant que toute fonction de l'algèbre de Wiener ne s'annulant pas a son inverse dans l'algèbre de Wiener. Ce résultat se base énormément sur le fait que toute fonction de $W$ s'écrit comme somme de sa série de Fourier, et que cette dernière converge normalement.

Recasages pour l'année 2026 :

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    C'est un développement "maison" et je n'ai malheureusement pas de références à vous proposer, en dehors du poly de Karine Beauchard ou d'un poly appelé "Wiener78.pdf" que vous pourrez trouver sur internet désolé ;-;

    EDIT : J'ai amélioré les arguments afin d'éviter les lourdeurs et les confusions. J'ai également retiré le fait que $W$ était dense dans $\mathcal{C}^0_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ étant donné que c'est immédiat : les polynômes trigo sont dedans donc c'est déjà plié par le théorème de Féjèr.
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    Très bon développement mais y'a pas vraiment de référence qui existe à part la version de matoumatheux (y'a un article qui fait la preuve du point 5 comme on veut, cf la page Wikipédia Wiener algebra, mais on peut pas l'avoir pour le jour J). Le Candelpergher fait quand même une bonne partie du début.
    Il faut choisir ce qu'on dit parce que le développement est trop long en l'état.
    Pour le point 3 je dis un peu n'importe quoi mais matoumatheux le fait bien.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :