Développement : L'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes

Détails/Enoncé :

On note
$$
W = \left\{ f \in \mathrm{L}^1_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C}) \text{ } \left \vert \text{ } \Vert f \Vert_W := \sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)| < +\infty \right. \right\}
$$
l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes. Dans ce développement, je propose de montrer que l'algèbre de Wiener $(W,+, \cdot, \times, \Vert \cdot \Vert_W)$ est isomorphe isométriquement à l'algèbre de Banach $\left(\ell^1(\mathbb{Z}),+,\cdot, \star, \Vert \cdot \Vert_1\right)$ munie de la convolution discrète $\star$ définie ainsi :
$$
\forall u,v \in \ell^1(\mathbb{Z}), \quad (u\star v)_n = \sum_{j \in \mathbb{Z}} u_j v_{n-j}.
$$
Cela permettra de résoudre certaines équations différentielles linéaires sur $\ell^1(\mathbb{Z})$. Pour la leçon 209, je propose de prouver le théorème de Wiener disant que toute fonction de l'algèbre de Wiener ne s'annulant pas a son inverse dans l'algèbre de Wiener. Ce résultat se base énormément sur le fait que toute fonction de $W$ s'écrit comme somme de sa série de Fourier, et que cette dernière converge normalement.

Recasages pour l'année 2025 :

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    C'est un développement "maison" et je n'ai malheureusement pas de références à vous proposer, en dehors du poly de Karine Beauchard ou d'un poly appelé "Wiener78.pdf" que vous pourrez trouver sur internet désolé ;-;

    EDIT : J'ai amélioré les arguments afin d'éviter les lourdeurs et les confusions. J'ai également retiré le fait que $W$ était dense dans $\mathcal{C}^0_{2\pi}(\mathbb{R},\mathbb{C})$ étant donné que c'est immédiat : les polynômes trigo sont dedans donc c'est déjà plié par le théorème de Féjèr.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :