Leçon 254 * : Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.

(2014) 254
(2014) 255
(2016) 254

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.) Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes. Elles se placent au niveau de ce qu'un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Par contre, on attend du candidat qu'il comprenne le rôle fondamental joué par la dualité dans la définition des opérations sur les distributions tempérées. Il faut aussi savoir faire le lien entre décroissance de la transformée de Fourier et régularité de la fonction. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(\mathbb{R}^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit être compris et la formule d'inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Le passage à $S(\mathbb{R}^d)$ repose sur l'idée de dualité qui est le coeur de cette leçon. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ et d'autres liées à la théorie des distributions comme la détermination de la transformée de Fourier d'une constante. Cette leçon ne doit pas se réduire à une dissertation abstraite sur le dual topologique d'un espace de Fréchet séparable. Le candidat doit maîtriser des exemples comme la valeur principale, pouvoir calculer leur dérivée et comprendre ce qu'est la transformée de Fourier d'une fonction constante. Les candidats ambitieux peuvent par exemple déterminer la transformée de Fourier de la valeur principale, la solution fondamentale du laplacien, voire résoudre l'équation de la chaleur ou de Schrödinger.

(2014 : 254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.) Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu'un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Par contre, on attend du candidat qu'il sache faire le lien entre décroissance de la transformée de Fourier et régularité de la fonction. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi normes doit être compris et la formule d'inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Le passage à $S'(R^d)$ repose sur l'idée dualité qui est le coeur de cette leçon. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ et d'autres liées à la théorie des distributions comme la détermination de la transformée de Fourier d'une constante. Les candidats ayant une bonne connaissance du sujet peuvent par exemple déterminer la transformée de Fourier de la valeur principale, la solution fondamentale du laplacien, voire résoudre l'équation de la chaleur ou de Schrödinger.
(2014 : 255 - Espaces de Scwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.) Ici aussi, les attentes du jury sur ces leçons restent modestes, et se placent au niveau de ce qu'un cours de M1 standard sur le sujet peut contenir. Aucune subtilité topologique portant sur l'espace des distributions tempérées n'est attendue. Le passage à $S'(R^d)$ repose sur l'idée dualité qui est le coeur de cette leçon. La détermination de la dérivée de $\log |x|$, de la dérivée seconde fournit un exemple pertinent tout comme la formule des sauts.

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

2015 : Leçon 254 - Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.

  • Leçon choisie :

    254 : Espaces de Schwartz $S(R^d)$ et distributions tempérées. Dérivation et transformation de Fourier dans $S(R^d)$ et $S'(R^d)$.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Résolution de y'' - y = H dans S'(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Une seule question sur le développement. Pas de questions sur le plan. Que des exos.

    Q : Et comment on fait avec $y'' - y = T$ avec $T \in S'$ ?
    R : on fait comme dans ce qui est proposé dans plan, c'est-à-dire on convole avec la solution fondamentale.

    Q : Calculer $\widehat{H}$. (avec de l'aide en particulier pour introduire $vp(1/x)$ qui n'est pas dans le plan).
    R : $ix \widehat{H} = 1$ ok. $vp$ est l'inverse de $x$ mais c'est pas tout il y a aussi $\delta$ qui convient et là j'ai bloqué et on a changé.

    Q [le prof de prépa se réveille] : exo sur la fonction nulle part dérivable qui fait intervenir une transformée de Fourier d'une fonction.
    R : Je suis son raisonnement et on fini l'exo sans faire tous les calculs et à chaque il me font grâce des vérifications du genre 'permutation intégrale série'.

    Q : et si vous deviez enseigner les distributions à une classe de 5ème ?
    R : ahah non c'est pas vrai cette question mais j'aurais bien aimé l'avoir

    Q : Si $T \in E'$ [NB : je l'ai défini dans mon plan], alors $\widehat{T}$ est $C^\infty$ et $T$ est sous polynomiale
    R : oulah calm down cowboy ! pas eu le temps de finir et grosse galère ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury m'aidait beaucoup pour que ça avance. Je n'ai jamais eu le temps de bloquer plus que 30 secondes. Le jury passait soit à un autre exo soit me donnait un coup de pouce

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai essayé de tendre le maximum de perches possible dans mon plan ou plutôt de préparer les questions sur lesquels ils allez me coincer dans le but d'avoir des questions faciles au début. Du genre :
    - une fonction dans $D$ pas dans $S$, ou des trucs du genre ?
    - comment on démontre que $S$ est complet ?
    - $S$ est stable par Fourier ok. $D$ ?
    - la topologie sur $D$ ?

    Mais non rien de cela. Pas de questions de topologie difficiles. J'avais juste introduit quelques notions de distributions + convolution.

  • Note obtenue :

    18.25