Développement : Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier

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Recasages pour l'année 2025 :

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    Énoncé :
    Soit $u_0 \in L^2(\mathbb{T})$, alors il existe une unique fonction $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*\times \mathbb{T})$ telle que :
    1) $\partial_t u - \partial^2_x u = 0$ pour $(x,t) \in \mathbb{R}^*_+\times \mathbb{T}$,
    2) $\lim_{t \to 0} ||u(\cdot , t) - u_0||_{L^2} = 0$.
    On procède par analyse synthèse, pour moi l'unicité réside dans la condition 2).

    Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
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    Il faut bien savoir expliquer pourquoi on prend une somme infini de solution.
    Lorsqu'on résoud l'équation différentielle il ne faut traiter que le cas intéressant sinon c'est trop long.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 152 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 220 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 152 versions au total)