Développement : Décomposition LU et décomposition de Cholesky

Détails/Enoncé :

On montrera dans ce développement la factorisation LU :
Soit une matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ d'ordre $n$ dont toutes les sous-matrices diagonales
\[\Delta_k=
\begin{pmatrix}
a_{11} & . & . & a_{1k} \\
. & . & . & . \\
. & . & . & . \\
a_{k1} & . & . & a_{kk}
\end{pmatrix}
\]
sont inversibles. Il existe un unique couple $(L,U)$ avec $U$ triangulaire supérieure et $L$ triangulaire inférieure à diagonale unité tel que
\[A=LU.\]

mais aussi la décomposition de Cholesky :

Soit $A$ une matrice symétrique réelle définie positive. Il existe une unique matrice réelle $B$ triangulaire inférieure, telle que tous ses éléments diagonaux sont strictement positifs et qui vérifie :
\[A=B^tB.\]

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre linéaire numérique, Allaire (utilisée dans 16 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 58 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 48 versions au total)