Développement : Théorème de Cartan-Dieudonné (générateurs de O(q) et SO(q))

Mathis Lemay

/!\ J'ai un peu merdé sur la rédaction de ce développement (et je n'avais pas le temps de le réécrire à ce moment-là), j'ai rayé le premier théorème que je croyais utile pour le développement (et donc que je pouvais le recaser dans la 159) mais en fait il est complètement hors-sujet (comme quoi il faut toujours lire entièrement un développement avant de le recopier...)

La démonstration vient du Perrin qui expédie souvent les rédactions... J'ai donc essayé de rédiger la récurrence correctement moi-même mais j'ai galéré au vu des ratures... Gardez un regard critique !
En 15 minutes, en expliquant bien, j'arrivais à démontrer le théorème sur $O(q)$, la première étoile et le théorème sur $SO(q)$. Je gardais la deuxième étoile pour d'éventuelles questions. Je pense qu'en se dépêchant un peu plus, on peut intégrer la deuxième étoile au développement. A ce propos, étoile 1 et étoile 2 ne sont pas détaillées dans le livre, j'ai trouvé leur démonstration sur ce site.

Pour faire ce développement, il faut s'assurer d'être bien au point sur les différentes isométries, notamment les renversements (dont je ne connaissais pas la nature avant la prépa agreg...) Par exemple, dans le dernier théorème, j'ai mis un point d'interrogation à un endroit car je ne comprenais pas, j'avais ensuite réglé le problème et je pense qu'il faut savoir bien justifier pourquoi c'est vrai (indice : matrice !)
Il faut faire attention en géométrie car souvent un même objet peut porter plusieurs noms différents suivant les ouvrages... Je pense qu'il faut connaître par coeur la classification des isométries en dimension 2 et 3.

Enfin, si on n'a pas envie de s'embêter avec une forme quadratique (de toute façon, le recasage dans 170 ou 171 est TRES limite), on peut simplement se placer dans $E$ un espace euclidien.