Développement : Inégalité isopérimétrique

Détails/Enoncé :

Soit $\gamma$ une courbe fermée simple de classe $C^1$ du plan euclidien $\mathbb{R}^2$. On pose $A = \frac{1}{2} | \int xdy - y dx | $ qui correspond à l'aire enfermée par $\gamma$. Alors
$$ A \le \frac{l^2}{4 \pi} $$

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    Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a$ soit strictement inférieur à $b$.
    Soit $C$ une courbe de $\mathbb{R}^2$ admettant un paramétrage $([a,b],f)$ vérifiant :
    -- $f(a)=f(b)$
    -- $f_{[a,b[}$ injective
    -- $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ et $f'$ ne s'annule pas.

    Soit $A$ l'unique composante connexe bornée définie par $C$. Alors on a :
    -- La longueur $L$ de la courbe $C$ vérifie : $$L^2 \geq 4\pi\lambda(A);$$
    -- $L^2 = 4\pi \lambda(A)$ si et seulement si $C$ est un cercle.


    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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