Développement : Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums

Détails/Enoncé :

Soient $U$ un ouvert convexe de $\mathbb{R}^n$ et $f : U \longrightarrow \mathbb{R}$.

1) Si $f$ est différentiable sur $U$, alors $f$ est convexe si et seulement si $\forall x, y \in U~f(y)-f(x) \geqslant Df(x)(y-x)$

2) Si $f$ est deux fois différentiable sur $U$, alors $f$ est convexe si et seulement si $D^2 f(x)$ est une forme quadratique positive pour tout $x \in U$.

Application à la recherche d'extremums : si $f$ est convexe et différentiable en $a \in U$ et que $Df(a) = 0$, alors $f$ admet en $a$ un minimum global sur $U$.

(Exercices 42, 108 et 119 du Petit guide de calcul différentiel, Rouvière, quatrième édition)

Recasages pour l'année 2024 :

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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 135 versions au total)