Leçon 156 * : Exponentielle de matrices. Applications.

(2015) 156

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 156 - Exponentielle de matrices. Applications.) C'est une leçon difficile et ce n'est pas une leçon d'analyse. Il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d'injectivité doivent être abordées. Par exemple la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 \esperluette 1 \\ 0 \esperluette -1 \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $exp(Mat(2, R))$ ? La matrice blocs $B = \begin{pmatrix} A \esperluette 0 \\ 0 \esperluette A \end{pmatrix}$ est-elle dans l'image $exp(Mat(4, R))$ ? La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) de $exp(A)$ doit être connue. Les groupes à un paramètre peuvent trouver leur place dans cette leçon. On peut s'interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de $GL(n, R)$. L'étude du logarithme (quand il est défini) trouve toute sa place dans cette leçon. Si on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités. Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l'essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et comportement asymptotique, mais le jury déconseille aux candidats de proposer ce thème dans un développement. Les notions d'algèbres de Lie ne sont pas au programme de l'agrégation, on conseille de n'aborder ces sujets qu'à condition d'avoir une certaine solidité. Sans aller si loin, on pourra donner une application de l'exponentielle à la décomposition polaire de certains sous-groupes fermés de $GL_n$ (groupes orthogonaux par exemple).

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.