Développement : Théorème du rang et topologie des orbites pour l'action par similitude [no ref, no pdf]

Détails/Enoncé :

On considère l'action de $GL_m(K)\times GL_n(K)$ sur $M_{mn}(K)$ définie par, pour tout $A\in M_{mn}(K)$ et $P,Q$ dans $GL_n(K)$, $$(P,Q).A:=PAQ^{-1}$$
On montre que deux matrices sont dans la même orbites pour cette action si et seulement si elles ont même rang.
Pour $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, on dispose d'une topologie sur $M_{mn}(K)$ induite par une norme (quelconque). Pour cette topologie, l'adhérence de l'orbite $O_r$ des matrices de rang $r$ est $\bigcup_{0\leq k \leq r}O_k$.

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