Développement : Topologie de l'ensemble des matrices de rang r [no pdf]

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \geq 0$ et $r \in \{1;..;n\}$.
Soit $J_r$ l'ensemble des matrices de $M_n(\mathbb{K})$ de rang r.

- Pour $r = n$, $J_r = Gl_n(\mathbb{K})$, qui est ouvert et dense dans $M_n(\mathbb{K})$.
$Gl_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs tandis que $Gl_n(\mathbb{R})$ a deux composantes connexes.
- Pour $r < n$, $J_r$ est d'intérieur vide, est connexe par arcs, et vérifie : $ \overline{J_r} = \bigcup_{k=0}^rJ_k$
Ainsi, pour $0 < r < n$, $J_r$ n'est ni ouvert ni fermé.

Ref : Mneiné R., Testard F.

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