Leçon 153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

(2015) 153
(2017) 153

Dernier rapport du Jury :

(2016 : 153 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.) Cette leçon ne doit pas être un catalogue de résultats autour de la réduction qui est ici un moyen pour démontrer des théorèmes ; les polynômes d’endomorphismes doivent y occuper une place importante. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l’algèbre $K[u]$, connaître sa dimension sans hésiter ; s’ils le désirent, les candidats peuvent ensuite s’intéresser à ses propriétés globales. Les liens entre réduction d’un endomorphisme u et la structure de l’algèbre $K[u]$ sont importants, tout comme ceux entre les idempotents et la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l’endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques. L’aspect applications est trop souvent négligé. On attend d’un candidat qu’il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est souhaitable que les candidats ne fassent pas la confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée (algébrique ou géométrique). Enfin, rappelons que pour calculer $A^k$, il n’est pas nécessaire en général de réduire A (la donnée d’un polynôme annulateur de A suffit souvent).

(2015 : 153 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.) Cette leçon est souvent choisie pour son lien avec la réduction, toutefois, le jury ne souhaite pas que le candidat présente un catalogue de résultats autour de la réduction, mais seulement ce qui a trait aux polynômes d'endomorphismes. Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$ , connaître sa dimension sans hésiter. Les propriétés globales pourront être étudiées par les meilleurs. Le jury souhaiterait voir certains liens entre réduction de l'endomorphisme u et structure de l'algèbre $K[u]$ . Le candidat peut s'interroger sur les idempotents et le lien avec la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Il faut bien préciser que, dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme, et en connaître les conséquences théoriques et pratiques. L'aspect applications est trop souvent négligé. On attend d'un candidat qu'il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est souhaitable que les candidats ne fassent pas la confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée (algébrique ou géométrique). Enfin, rappelons que pour calculer $A^k$ , il n'est pas nécessaire en général de réduire A (la donnée d'un polynôme annulateur de A suffit bien souvent).
(2014 : 153 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie.) Les polynômes d'un endomorphisme ne sont pas tous nuls ! Il faut consacrer une courte partie de la leçon à l'algèbre $K[u]$, connaître sa dimension sans hésiter. Les propriétés globales pourront être étudiées par les meilleurs. Le jury souhaiterait voir certains liens entre réduction et structure de l'algèbre $K[u]$. Le candidat peut s'interroger sur les idempotents et le lien avec la décomposition en somme de sous-espaces caractéristiques. Le jury ne souhaite pas que le candidat présente un catalogue de résultats autour de la réduction, mais seulement ce qui a trait aux polynômes d'endomorphismes. Il faut bien préciser que dans la réduction de Dunford, les composantes sont des polynômes en l'endomorphisme. L'aspect applications est trop souvent négligé. On attend d'un candidat qu'il soit en mesure, pour une matrice simple de justifier la diagonalisabilité et de déterminer un polynôme annulateur (voire minimal). Il est souhaitable que les candidats ne fassent pas la confusion entre diverses notions de multiplicité pour une valeur propre $\lambda$ donnée ( algébrique ou géométrique). Enfin rappelons que pour calculer $A_k$ , il n'est pas nécessaire en général de faire la réduction de $A$ (la donnée d'un polynôme annulateur de $A$ suffit bien souvent).

Plans/remarques :

2016 : Leçon 153 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.


2015 : Leçon 153 - Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.


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