Développement : Connexité par arcs dans les matrices nilpotentes (privées de la matrice nulle)

Détails/Enoncé :

Pour $K$ égal à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$, on note $\mathcal{N}_n(K)^*$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $M_n(K)$ privé de la matrice nulle. Alors $\mathcal{N}_n(\mathbf{C})^*$ est connexe par arcs et si $n \geq 3$, $\mathcal{N}_n(\mathbf{R})^*$ est connexe par arcs.

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    On pourra éventuellement étudier le cas $n=2$ dans le cas $ K = \mathbf{R} $ : il y a 2 composantes connexes qui correspondent aux 2 composantes connexes d'un cône en dimension 3. Le développement est corrigé page 69 du livre Algèbre et Géométrie.
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre et géométrie, Fresnel, Matignon (utilisée dans 4 versions au total)