Profil de Jimbo

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15/06/2021

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13/08/2021

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2020, option B

Développement :
Théorème des fonctions implicites
Remarque :
La démonstration repose sur un théorème du point fixe à paramètre qui est admis pour rester dans les 15 min.
Référence :
- Dérivation, Intégration, Wagschal

Développement :
Connexité par arcs dans les matrices nilpotentes (privées de la matrice nulle)
Remarque :
On pourra éventuellement étudier le cas $n=2$ dans le cas $ K = \mathbf{R} $ : il y a 2 composantes connexes qui correspondent aux 2 composantes connexes d'un cône en dimension 3. Le développement est corrigé page 69 du livre Algèbre et Géométrie.
Référence :
- Algèbre et géométrie, Fresnel, Matignon

Développement :
Racine carrée d'un opérateur hermitien positif dans un espace de Hilbert
Remarque :
Ce résultat est la généralisation du résultat bien connu sur les endomorphismes symétriques (ou hermitiens) en dimension finie. On peut en trouver la démonstration page 469 du livre de Claude Wagschal ou page 69 du livre de Daniel Li.
Références :
- Topologie et analyse fonctionelle, Wagschal
- Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li

Développement :
Construction de fonctions dérivables dont la dérivée est discontinue sur un ensemble prescrit
Remarque :
La fonction solution est construite comme une série de fonctions. La réciproque de la proposition est vraie : si $f$ est dérivable et $f'$ est discontinue exactement sur un ensemble $A$, alors $A$ est une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide. L'énoncé et le corrigé de ce développement peuvent se trouver page 99 du livre Analyse mathématique.
Référence :
- Analyse mathématique, Choimet, Queffelec

Développement :
Exemple de série numérique et recherche de sa nature (convergent ou divergent)
Remarque :
On trouvera le corrigé page 217 du Gourdon analyse (chapitre séries numériques)
Référence :
- Analyse , Gourdon

Développement :
Parties relativement compactes de Lp(Rn)
Remarque :
Pour tenir dans les 15 min, on se contentera du sens réciproque dans l'énoncé (le sens le plus dur). On trouvera une preuve à la page 349 du livre de Claude Wagschal.
Référence :
- Dérivation, Intégration, Wagschal

Développement :
Un théorème de localisation des racines d'un polynôme (Cauchy, Ostrowski)
Remarque :
On trouvera l'énoncé et sa preuve page 350 du livre de Pascal Boyer
Référence :
- Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Boyer

Développement :
Sous-espaces totalement isotropes maximals
Remarque :
On trouvera le corrigé de cette proposition à la page 238 du Gourdon Algèbre
Référence :
- Algèbre , Gourdon