Développement : Construction de fonctions dérivables dont la dérivée est discontinue sur un ensemble prescrit

Détails/Enoncé :

Soit $F$ un réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide dans $[0,1]$. Alors il existe une fonction $f:[0,1] \to \mathbf{R}$ dérivable sur $[0,1]$ et dont la dérivée $f'$ est discontinue sur l'ensemble $F$ et continue sur le complémentaire de F (dans $[0,1]$).

Recasages pour l'année 2024 :

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  • Remarque :
    La fonction solution est construite comme une série de fonctions. La réciproque de la proposition est vraie : si $f$ est dérivable et $f'$ est discontinue exactement sur un ensemble $A$, alors $A$ est une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide. L'énoncé et le corrigé de ce développement peuvent se trouver page 99 du livre Analyse mathématique.
  • Référence :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse mathématique, Choimet, Queffelec (utilisée dans 1 versions au total)