Leçon 204 : Connexité. Exemples d’applications.

(2024) 204

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 204 - Connexité. Exemples d'applications.) Dans cette leçon, une fois les propriétés élémentaires présentées, il convient de mettre en évidence à travers un choix judicieux, non nécessairement exhaustif, d'applications le fait que la connexité formalise l'idée d'espace "d'un seul tenant", que la connexité par arcs permet d'illustrer géométriquement. Du point de vue opérationnel, les deux idées maîtresses sont la préservation de la connexité par image continue, et l'utilisation de la connexité pour passer du local au global. La seconde est abondamment illustrée dans le domaine du calcul différentiel, des équations différentielles non linéaires (passage d'une unicité locale à une unicité globale), des fonctions holomorphes (principe du prolongement analytique ou du maximum). En cas de non-connexité, la notion pertinente est celle de composante connexe, dont une première application est la structure des ouverts de R, et leur mesure. Les exemples issus de l'algèbre linéaire sont bien entendu les bienvenus, à condition de ne pas trop détourner la leçon... Pour les candidates et candidats solides, de bons prolongements sont le théorème de Runge, l'ensemble triadique de Cantor comme prototype d'espace métrique compact, parfait et totalement discontinu, la notion de simple connexité.

(2022 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Dans cette leçon, il convient de mettre en évidence le fait que la connexité formalise l'idée d'espace "d'un seul tenant", que la connexité par arcs permet d'illustrer géométriquement. Du point de vue opérationnel, les deux idées maîtresses sont la préservation de la connexité par image continue, et l'utilisation de la connexité pour passer du local au global. La seconde sera abondamment illustrée dans le domaine du calcul différentiel, des équations différentielles non linéaires (passage d'une unicité locale à une unicité globale), des fonctions holomorphes (principe du prolongement analytique ou du maximum). En cas de non-connexité, la notion pertinente est celle de composante connexe, dont une première application est la structure des ouverts de R, et leur mesure. Les exemples issus de l'algèbre linéaire sont bien entendu les bienvenus, à condition de ne pas trop détourner la leçon... Pour les candidats solides, de bons prolongements sont le théorème de Runge, l'ensemble triadique de Cantor comme prototype d'espace métrique compact, parfait et totalement discontinu, la notion de simple connexité.
(2019 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) L’objectif de cette leçon est de dégager clairement l’intérêt de la notion de connexité en analyse. Deux aspects sont notamment à mettre en valeur dans cette leçon : le fait que la connexité est préservée par image continue avec les théorèmes du type « valeurs intermédiaires » qui en résultent et le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global, par exemple en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, la structure des ouverts de $\textbf{R}$, l’identification des connexes de $\textbf{R}$ sont des résultats incontournables. $\\$ La caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions différentiables sur un ouvert connexe trouve tout à fait sa place dans cette leçon, incluant éventuellement la version « distributions » de ce résultat. $\\$ La connexité par arcs permet, lorsqu’elle se produit, de conclure immédiatement à la connexité. Toutefois, il est important de bien distinguer connexité et connexité par arcs en général (avec des exemples compris par le candidat), et il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. La notion de composante connexe doit également trouver sa place dans cette leçon(pouvant être illustrée par des exemples matriciels). L’illustration géométrique de la connexité est un point apprécié par le jury. $\\$ Des exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) sont valorisés. Pour aller plus loin, le principe des zéros isolés, son lien avec le prolongement analytique, ainsi que des illustrations avec des fonctions spéciales telles que $\zeta$,$\theta$,$\Gamma$ ou encore le principe du maximum, fournissent des thèmes très riches pour cette leçon. $\\$ Dans une autre direction, on peut s’intéresser aux solutions d’une équation différentielle non linéaire avec le passage d’un théorème d’existence et d’unicité local à un théorème d’existence et d’unicité de solutions maximales. Enfin, le choix des développements doit être pertinent, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge pour les candidats qui le souhaitent. $\\$ Pour aller plus loin, on peut éventuellement évoquer certaines parties totalement discontinues remarquables telles que l’ensemble triadique de Cantor et ses applications.
(2017 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon : en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, l’identification des connexes de R sont des résultats incontournables. On distinguera bien connexité et connexité par arcs (avec des exemples compris par le candidat), mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. A contrario, on pourra distinguer leur comportement par passage à l’adhérence. La notion de composantes connexes doit également trouver sa place dans cette leçon (pouvant être illustrée par des exemples matriciels). L’illustration géométrique de la connexité sera un point apprécié par le jury. Des exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) seront valorisés. Le choix des développements doit être pertinent, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge.
(2016 : 204 - Connexité. Exemples et applications. ) Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon : en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, l’identification des connexes de R sont des résultats incontournables. On distinguera bien connexité et connexité par arcs (avec des exemples compris par le candidat), mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. A contrario, on pourra distinguer leur comportement par passage à l’adhérence. Des exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) seront appréciés. Le choix des développements doit être pertinent, le préambule en fournit quelques exemples, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge.
(2015 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité ; par exemple, diverses démonstrations du théorème de d'Alembert-Gauss. On distinguera bien connexité et connexité par arcs, mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident.
(2014 : 204 - Connexité. Exemples et applications.) Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité ; par exemple, diverses démonstrations du théorème de d'Alembert-Gauss. On distinguera bien connexité et connexité par arcs, mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 204 - Connexité. Exemples d’applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Connexité
    1) Généralités
    2) Caractérisation et pptes des connexes
    3) Connexes dans R
    4) Connexité par arcs et composantes connexes
    II. Utilisation en analyse
    1) Analyse réelle (TVI, Darboux)
    2) Calcul diff (DVT : fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie)
    3) Analyse complexe
    III. Algèbre et géométrie
    1) Espaces des matrices (DVT : GLn est DOC, DVT : Surj exponentielle de matrices)
    2) Géométrie (DVT : Quaternions)
  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon que j'aimais bien, le plan est assez basique.
    Dans mon développement sur le principe du prolongement analytique, je démontrais aussi la propriété de connexité qui est utilisée, pour bien qu'il rentre dans la leçon.

    [LES] Variables complexes, Lesfari

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider !
  • Fichier :

2024 : Leçon 204 - Connexité. Exemples d'applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Les espaces topologiques ne sont pas au programme de l'agrégation, donc se placer dans le cadre d'un espace métrique est suffisant pour traiter cette leçon.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Leçon que j'ai faite en début d'année, j'ai alors refait un plan semi détaillé plus tard, je vais mettre les 2 documents quand même.
  • Fichiers :

2023 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2020 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan, mais il y a beaucoup plus de choses que dans le Gourdon qui est quasiment la seule référence. Malheureusement je ne connais pas beaucoup de bons ouvrages sur la connexité (ou alors trop durs), et j'ai eu la chance d'avoir un cours de grande qualité dessus.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2018 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2017 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


2016 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2025 : Leçon 204 - Connexité. Exemples d’applications.

  • Leçon choisie :

    204 : Connexité. Exemples d’applications.

  • Autre leçon :

    241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de la grenouille

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :
  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pendant mon développement j'ai fait plusieurs coquilles que j'ai corrigé au fur et à mesure que je les voyais. Une membre du jury m'a dit au début des questions qu'elle avait vu plusieurs coquilles mais qu'il lui semblait que j'avais tout corrigé donc on pouvait passer aux questions.
    Ils ont commencé par quelques questions sur mon développement : justifier que A' est une union de boules ouvertes, réexpliquer les inégalités et l'existence d'un terme de la suite dans les points fixes de f dans l'application.
    Ensuite, ils m'ont fait faire les exemples de mon plan ou des choses proches de ces exemples:
    Exemple de l'adhérence de {(x,sin(x)), x entre 0 et1} qui est connexe pas connexe par arcs, pourquoi connexe (image d'un connexe par une fonction continue puis on prend l'adhérence), idée de la preuve de pas connexe par arcs (cf exo 1 de connexité dans le queffelec de topologie)
    Pourquoi deux intervalles de natures différentes ne sont pas homéomorphes ? Pourquoi R et R^2 ne sont pas homéomorphes ? on enlève un point dans chaque et ils n'ont plus la même connexité
    Est-ce que l'image réciproque d'un connexe est connexe ? Non, contre-exemple ? Une fonction constante partant d'un ensemble non connexe.
    J'avais mis l'exercice 4 de connexité du gourdon et ils m'ont demandé ce qu'il se passait en dimension 3 ou 4 : en dimension 3 on est sur une sphère qui est connexe par arcs donc on a le même résultat en raisonnant de la même façon.
    Ensuite ils m'ont donné deux exercices. Pour le premier, on prend f : U -> U avec U un ouvert connexe de C tel que fof=f. Montrer que f est constante ou nulle. Ils m'ont vraiment beaucoup aidé pour cet exercice en me donnant des indications à plusieurs étapes et le théorème de l'application ouverte que je ne connaissais pas (l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe est un ouvert). Pour les idées de démonstration il faut supposer f non nulle, dériver l'égalité, utiliser le théorème de l'application ouverte et le théorème de prolongement analytique, primitiver et montrer que la constante est nulle (peut-être pas exactement dans cet ordre). Ils m'ont demandé de préciser les hypothèses du théorème de prolongement analytique donc je pense qu'ils voulaient surtout que j'ai l'idée d'utiliser ce théorème et de savoir l'utiliser.
    Deuxième exercice : existe-il une fonction continue envoyant les rationnels dans les irrationnels et les irrationnels dans les rationnels ? J'ai essayé de trouver un exemple mais je me suis rendue compte que aucune idée ne marchait (et que ça n'utilisait pas la connexité) donc j'ai fini par dire que ça ne devait pas être possible. Ils m'ont demandé les composantes connexes de Q (les singletons) et les composantes connexes dénombrables de R\Q (les singletons toujours) puis qu'on montrait que ce n'était pas possible comme ça mais le temps était fini.

    Mon plan :
    I Espaces connexes
    1) Généralités
    2) Stabilité
    3) Composantes connexes
    4) Connexité par arcs
    II Passage du local au global
    III Applications
    1) Fonctions et suites (DEV Lemme de la grenouille)
    2) Espaces non homéomorphes
    3) Espaces de matrices (DEV GLn dense ouvert connexe)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très gentil, souriant et encourageant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je n'ai eu aucune question sur ma partie connexité des espaces de matrices (j'aurais bien aimé) et aucune preuve de propriétés ou théorèmes de cours à faire.

  • Note obtenue :

    17


2019 : Leçon 204 - Connexité. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Composantes connexes des formes quadratiques réelles

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    Je n'étais pas très à l'aise pendant le développement, le stress m'empêchait sans doute d'être réellement convaincant.
    J'avais remplacé une inégalité large par une inégalité stricte, une jury m'a demandé de corriger. Ensuite un jury m'a demandé de montrer que ce que j'utilisais dans mon développement était bien une norme ; ce que j'ai du faire en entier malgré la facilité de la vérification. Je pense que c'est à cause de l'image peu assurée que j'ai donné pendant mon développement. J'ai ensuite dû donner la définition d'une forme quadratique.

    Sur le plan :
    - démontrer l'équivalence entre un E = O1 union O2 où O1 et O2 sont des ouverts disjoints et E = F1 union F2 où F1 et F2 sont des fermés disjoints
    - démontrer la caractérisation de la connexité par les fonctions à valeurs dans {0,1}
    - je n'avais pas écrit la condition de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires, j'ai du compléter l'énoncé
    - démontrer le théorème de Darboux : j'avais la démonstration dans mes notes, je leur ai dit, mais la prof qui m'a posé la question m'a demandé ce que je pouvais dire sans regarder ; j'ai donné les grandes lignes sans trop me convaincre, ça a eu l'air de lui suffire et on est passé à autre chose

    Exercice :
    Un seul exercice pour la fin, j'avais une fonction f : R^n -> R^n C1 telle qu'il existe un k >0 tel que pour tout x,y, ||x-y|| < k*||f(x)-f(y)||, et je devais montrer que c'était un C1-difféomorphisme.
    J'ai rapidement pensé au théorème d'inversion globale, j'ai donc dit que je voulais l'utiliser ; j'ai ensuite remarqué que l'hypothèse implique que f est injective ; pour montrer la surjectivité j'ai montré que l'image de f était un ouvert-fermé (fermé par caractérisation séquentielle, ouvert grace au théorème d'inversion locale) ; comme il ne restait pratiquement plus de temps, une des membres du jury m'a demandé les hypothèses du théorème d'inversion globale, et de justifier pourquoi il fallait bien montrer que f était bijective.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Souriant, assez peu aidant, je réfléchissais parfois un peu à voix haute, mais peu d'intervention de leur part ; que ça soit pour me dire que je disais des bêtises ou que je partais bien. Au final, je pense que ça m'a servi, étant donné que j'ai malgré cela pu répondre à toutes leurs questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On a eu un peu moins de 3h de préparation ; quelques minutes de moins.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    204 : Connexité. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Développements proposés :
    - Prolongement analytique et existence des points singuliers au bord du disque de convergence d’une série entière
    - GLn(C) est dense ouvert connexe de Mn(C)

    Ils ont choisi le premier.

    Questions :

    -prouver le corollaire du prolongement analytique qu’on utilise tout le temps, bon malheureusement j’ai eu du mal à cette première question bêtement ...

    - questions rapides sur le développement

    - Connaissez vous le développement en série entière de Tangente en 0 ? Non mais je connais les premiers termes et je sais que la formule générale fait intervenir les nombres de Bernoulli

    - vous pouvez majorer le rayon de convergence de la série entière en 0 de tangente ?
    Oui par pi/2 en voyant tan(z) = sin(z)/cos(z) et cos(z) s’annule pas dans le disque D(0,pi/2)

    - et on pourrait montrer que c’est égal à pi/2 ?
    Oui en fait la limite de tangente en pi/2 c’est l’infini donc en pi/2 c’est pas défini donc le rayon peut pas être strictement plus grand

    - vous avez dit que Gln(R) était non connexe, pouvez vous citer des espaces de matrices qui seraient connexes (hors Gln(C)) ?
    Oui SLn(C) est connexe par arcs ça se montre avec les transvections et je sais que SLn(R) est connexe mais je sais pas le montrer

    - Et On(R) ?
    C’est pas connexe parce qu’il a deux composantes connexes On+ et On-

    - Montrer alors que O2+ est connexe
    On va montrer connexe par arcs, déjà O2+ c’est des matrices de rotations et donc on va montrer qu’on peut relier chaque matrice à l’identité : il faut prendre theta*t au lieu de theta dans l’expression de la matrice et c’est ok le chemin convient

    - Ensuite ils m’ont fait retrouver un théorème pour avoir l’implication entre f’ = 0 et f est constante. D’abord ils m’ont fait poser f : [0,1] dans R une fonction quelconque dérivable sur I = [0,(1/2)[ U ](1/2),1] et telle que f’ = 0 sur I.
    J’ai dit une bourde en disant que je pensais que f était constante sur I mais en fait ils m’on invité à faire un dessin et j’ai vite corrigé mon erreur en prenant une fonction qui valait 1 sur [0,(1/2)[ et qui vaut -1 sur ](1/2),1] et qui vérifie les hypothèses alors qu’elle n’est pas constante.
    Ensuite ils m’ont donc demandé qu’est ce qu’il manque pour avoir f constante et j’ai dit il faut que I soit un intervalle ils ont eu l’air de dire oui et m’ont fait écrire l’énoncé du théorème.

    - Ils m’ont demandé de généraliser le résultat dans R^2 : j’ai donc dit que dérivable devenait différentiable, « f’ = 0 » devient « les dérivées partielles sont nulles » et « I intervalle » devient « I est connexe » et ça a l’air de les avoir convaincu

    - Ensuite j’avais mis le théorème des valeurs intermédiaires dans mon plan sans dire le nom et je l’avais cité pour un espace métrique quelconque, on m’a demandé ce que ça donnait dans R muni de la distance usuelle j’ai dit que c’était le TVI et ils ont dit oui (bizarre comme question surtout que c’était vers la fin)

    - Pour finir on m’a fait poser f : R dans R une fonction croissante et I un intervalle de R. J’ai du montrer que l’image réciproque de I par f était un intervalle.
    Ils m’ont suggéré de montrer que f^(-1)(I) était convexe, ce qui se fait bien car f est croissante.
    J’ai terminé là dessus

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Souriant, un des membres hochait souvent la tête, ce qui met en confiance.
    Il aidait quand il fallait.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    12.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Topologie générale et espaces normés , Hage Hassan (utilisée dans 56 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 677 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 50 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 120 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 37 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 143 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 82 versions au total)
Analyse complexe pour la Licence 3, Tauvel (utilisée dans 122 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 349 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 166 versions au total)
Mathématiques analyse L3 , Marco (utilisée dans 8 versions au total)
Topologie , Queffelec (utilisée dans 36 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 82 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 78 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 258 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 312 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 2 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 77 versions au total)
Un max de maths , Zavidovique (utilisée dans 59 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 3, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 31 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 91 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation : Analyse et Probabilités , Jean-François Dantzer (utilisée dans 44 versions au total)
Calcul différentiel , Gonnord, Tosel (utilisée dans 12 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 233 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 63 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 26 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 48 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 85 versions au total)