Développement : Approximation diophantienne

Détails/Enoncé :

Soit $\alpha \in \mathbb R \backslash \mathbb Q$, on montre qu'il existe un infinité de couples $(p,q) \in \mathbb Z \times \mathbb N^*$ tels que

\[\left| \alpha - \frac pq \right| \leq \frac{1}{q^2}\]

Application : étude de la suite $\left( \frac{1}{n \sin n} \right)_n$

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    C'est en quelque sorte un prolongement du développement sur les sous-goupes additifs de $\mathbb R$ qui lui aussi ne rentre que dans la leçon sur les suites. Je conseille toutefois de connaître une idée de démonstration.

    Le développement en lui-même n'est pas extrêmement difficile, c'est une succession d'étapes et de raisonnements assez élémentaires.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Oraux X-ENS Analyse 1 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 49 versions au total)