Leçon 142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

Dernier rapport du Jury :

(2014 : 142 - Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.) La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ni sur les les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines coefficients ne doivent pas être négligées. On peut faire agir le groupe $GL(n, R)$ sur les polynômes à $n$ indéterminées de degré inférieur à 2.

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Développements :

• Théorème de Chevalley-Warning
• Nullstellensatz via le résultant (théorème des zéros de Hilbert)
• Structure des polynômes symétriques
• Théorème de Molien
• Polynômes semi-symétriques
• Théorème de Kronecker
• C[X,Y]/(X^2+Y^2-1) est principal
• Théorème de Bézout faible (par le résultant)
• Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq
• Théorème de Lüroth [ref]
• Théorème de d'Alembert-Gauss [ref]

Plans/remarques :

Retours d'oraux :

Références utilisées dans les versions de cette leçon :