Développement : Convergence vers la loi de Gumbel [no pdf]

Détails/Enoncé :

Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :
$$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$


Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
$$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$
Alors on a :
-- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$
-- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel.

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  • Remarque :
    Leçons : 223, 224, 262, 263.

    Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :
    $$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$


    Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
    $$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$
    Alors on a :
    -- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$
    -- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel.

    Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
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