Développement : Théorème de Cauchy et classification des groupes d'ordre 6

Détails/Enoncé :

Définition : Soit $p$ un nombre premier. Un groupe fini est appelé un $p$-groupe si son ordre est une puissance de $p$.

Proposition : Soit $p$ un nombre premier. Soit $G$ un $p$-groupe agissant sur un ensemble $X$. Notons,
\begin{equation*}
X^G = \{ x \in X, \ \forall g \in G, \ g \cdot x = x \}.
\end{equation*}
Alors, $\left\lvert X^G \right\rvert \equiv \lvert X \rvert \ [p]$.

Théorème de Cauchy : Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n \in \mathbb{N}^{*}$. Si $p$ est un diviseur premier de $n$, alors il existe un élément d'ordre $p$.

Application (classification des groupes d'ordre $6$) : Soit $G$ un groupe fini d'ordre $6$. Alors, $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ou à $\mathfrak{S}_3$.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Pour être tout à fait honnête, je n'avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l'avais choisi tardivement, sous les recommandations d'un ami (coucou Max). La preuve du théorème de Cauchy étant assez courte, j'ai choisi de rajouter la classification des groupes d'ordre $6$. Lors de l'exposé, n'écrivez pas tous les calculs ainsi que la table de multiplication de $G$. Montrez seulement les égalités $aba = b^{-1}$, $ab = bab^{-1}$ et $ba = b^{-1} a b$, puis expliquez que ces dernières permettent d'obtenir la table de multiplication de $G$, puis de conclure que $G$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_3$. Je pense que c'est un bon choix de développement.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)