Développement : Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

Détails/Enoncé :

Le but de ce développement est de démontrer que le groupe A_n est simple pour n = 3 et n ≥ 5 (c’est-à-dire qu’il ne possède aucun sous-groupe distingué non-trivial). Pour cela, nous allons d’abord utiliser le fait que A_n est engendré par les 3-cycles et que ceux-ci sont tous conjugués dans A_n puis ensuite utiliser ce résultat central pour démontrer que A_n est un groupe simple.

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Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

Version de Tintin

Auteur :
Tintin
Remarque :
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Simplicité de A_n pour n = 3 et n supérieur ou égal à 5.pdf

Version de Mathis Lemay

Auteur :
Mathis Lemay
Remarque :
Avec de l'entraînement, on peut faire tenir les 2 lemmes et le théorème en 15 minutes. Au delà de connaître la démonstration, il faut avoir bien compris pourquoi il suffit de trouver un 3-cycle dans le sous-groupe distingué non trivial de $\mathfrak{A}_n$. Sinon, le développement n'est pas très difficile, les 2 lemmes sont des exercices sûrement déjà traités en L3 (ou même avant) et le théorème, c'est grosso modo 3 fois le même argument.
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- A_n est simple pour n=3 et n supérieur ou égal à 5.pdf

Version de Mr_Syndrome

Auteur :
Mr_Syndrome
Remarque :
Pour les leçons : 103, 104, 105, 108.
En fonction du temps, on peut ou non démontrer les lemmes (mais dans tous les cas il faut savoir les démontrer).
Références :
- Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- An est simple.pdf

Version de Astier

Auteur :
Astier
Remarque :
Rombaldi pages 49 à 51 + 65
Couplé avec les leçons 103, 104, 105, 108
Référence :
- Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi
Fichier :
- Simplicité_du_groupe_alterné.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 507 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 117 versions au total)