Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Un développement que j’ai adoré. Je suis passé en colle en prépa Agreg dessus donc j’ai pu ajouter les questions qui m’ont été posées à cette occasion dans le document.
Ces deux résultats couplés permettent la classification de petits groupes, vous le verrez en lisant le pdf :)

cotés recasages à mon avis :
Leçon 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Leçon 104 : Groupes finis. Exemples et applications.
En revanche dans la 105…. je ne le tenterais pas.


Les remarques en gris sont des choses à ne pas forcément écrire lors du développement et aident simplement à la compréhension du dev.

Classification des groupes d'ordre p^2

Ce développement est certes de niveau modeste mais croyez-moi, c’est largement suffisant pour passer l’agrégation ( ne pas avoir peur de faire quelque chose de classique, on peut avoir 20 sans présenter quelque chose de très difficile et/ou peu classique ).
J’ai d’ailleurs beaucoup aimé ce développement (Après, vous me direz en tant qu’algébriste je ne suis pas objectif).
Il y a beaucoup de références mais les résultats s’y trouvent un peu par-ci, par là. J’utilise personnellement le Félix Ulmer : théorie des groupes pour la plupart de mes devs de théorie des groupes.

cotés recasages à mon avis :
-Leçon 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

-Leçon 103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

-Leçon 104 : Groupes finis. Exemples et applications.

par contre la 121 c’est abusé.

Les remarques en gris sont des choses à ne pas forcément écrire lors du développement et aident simplement à la compréhension du dev.

Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5

Je suis passé à l’oral sur ce développement le jour j dans la leçon 103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
J’ai eu un bug lors du dev ( calcul de fin sur le produit des cycles ) et j’ai tout de même eu une excellente note ( 17,25 ) alors on peut en déduire deux choses :
- bloquer lors du dev n’est pas grave si on arrive à se reprendre après indication de la part du jury
- le recasage dans cette leçon est ok.

côté recasages à mon avis :

-Leçon 103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

-Leçon 105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

-Leçon 108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.


Allez voir mon retour d’oral 2025 pour voir les questions posées.

Les remarques en gris sont des choses à ne pas forcément écrire lors du développement et aident simplement à la compréhension du dev.

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

C'est un développement de bon niveau démontrant l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$.
Une jolie application est la démonstration du théorème de Dirichlet faible, vous le découvrirez dans le pdf.

Sauf exception, on démontre le lemme de Gauss, le lemme puis le théorème dans cet ordre.

L'exception est la leçon 125 "Extensions de corps. Exemples et applications." où l'on ne démontre pas le lemme de Gauss. On démontre alors le lemme, le théorème puis le corollaire. (Même si ce recasage me semble dangereux).

Côtés recasages à mon avis :

- 102 "Groupe des nombres complexes de module 1. Racines de l'unité. Applications" puisque selon moi l'étude des polynômes cyclotomiques a sa place dans cette leçon.

- 125 " Extensions de corps. Exemples et applications." C'est un recasage dangereux. D'une part puisque seul le corollaire justifie ce recasage et que c'est une maigre partie du développement mais aussi parce que cela pourrait partir sur la question de l'irréductibilité du nième polynôme cyclotomique dans d'autres corps...

- 141 "Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications." Pas besoin de justifier ;)

- 142 "PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications." Les deux lemmes justifient complètement le recasage.

- 144 "Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications." On utilise quelques de notions de cette leçon dans ce développement (racines multiples et polynôme dérivé, polynôme minimal, nombre maximal de racines etc) mais je trouve ce recasage un peu limite. A vous de le justifier :)


Les remarques en gris sont des choses à ne pas forcément écrire lors du développement et aident simplement à la compréhension du dev.