Développement : Automorphismes de Q8 par SL2(F3)

Détails/Enoncé :

Le groupe $Q_8$ étant le groupe des quaternions (d'ordre $8$), on montre que
$$\text{Aut}(Q_8)\simeq\mathfrak S_4$$
en utilisant le fait qu'il n'y a qu'une seule copie de $Q_8$ dans $\text{SL}_2(\mathbb F_3)$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Ce développement se trouve intégralement dans le livre "Le groupe symétrique S4 et ses métamorphoses" d'Alain Debreil et Rached Mneimné (pages 115, 116 et 117).
    Attention aux quelques détails qui ne sont pas écrits dans le livre (matrices qui commutent avec les matrices dont la trace est nulle, Q8 est caractéristique dans SL2(F3), preuve de l'isomorphisme entre PGL2(F3) et S4).
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :