Développement : Réduction simultannée des formes quadratiques réelles & applications

Détails/Enoncé :

1) Soit $E$ un $\mathbb{R}$-e.v. de dimension finie $n$. Soient $q_1$ et $q_2$ deux formes quadratiques sur $E$. On suppose que $q_1$ est définie-positive. Alors il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $mat_{B}q_1=I_n$ et $mat_Bq_2$ est diagonale réelle.
2) Soient $M_1 \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $M_2 \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Alors il existe $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $M_1 = PP^t$ et $M_2 = PDP^t$.
3) Soient $A,B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Alors $\det A + \det B \leqslant \det (A+B)$.

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