Développement : Sphère de M_2(R)

Détails/Enoncé :

On munie $M_2(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée à la norme $\Vert.\Vert_2$ de $\mathbb{R}^2$. On note $\Sigma$ la sphère unité de $M_2(\mathbb{R})$. On note aussi $R$ l'ensemble des rotations et $S$ l'ensemble des symétries orthogonales. On notera $r_{\theta}$ (resp $s_\theta$) la rotation (resp symétrie) d'angle $\theta$. On notera aussi $\mathbb{D}$ le disque unité complexe fermé et $\mathbb{S}^1$ son bord. Alors:

Théorème:
$\Sigma$ est l'union des segment $[r,s]$ $(r,s)\in R\times S$, et deux tels segments ne peuvent s'intersecter que sur une extrémité.
De plus, $R$ et $S$ sont des cercles "enlacés" dans $\Sigma$ au sens où pour toute application continue $\rho:\mathbb{D}\rightarrow \Sigma$ tel que $\rho(e^{i\theta})=r_{\theta}$ (resp $s_\theta$), on a $\rho(\mathbb{D})\cap S\neq \emptyset$ (res $\rho(\mathbb{D})\cap R\neq \emptyset$).

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