Leçon 206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

(2024) 206

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 206 - Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.) Cette leçon d'exemples est l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du programme. En topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties compactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$ ), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces tangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de dimension finie. Les candidates et candidats solides peuvent aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre la régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire des fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs compacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.

(2023 : 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse) (Rapport 2022) Cette leçon d'exemples sera pour le candidat l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du programme. En topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties compactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces tangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de dimension finie. Les candidats solides pourront aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre la régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire des fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs compacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Evn de dim finie
    1. Norme et topologie : eq des normes et Riesz (DVT : eq des normes)
    2. app : compacité complétude (vda, décomposition polaire)
    3. Existence d'extrema et thm en dimensions finie (séparation des convexes, envoloppe convexe de On(R))
    4. applications linéaires (continues + Riesz)
    II. Equa diff
    1. Système diff linéaire, solutions (DVT : CL lin)
    2. Espace des solutions et Wronskien
    III. Calcul diff :
    1. Généralités
    2. Optimisation et recherche d'extremum (conditions gradient, hessienne, etc. (DVT : gradient à pas optimal)).
  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon pas si facile que ça à préparer, je pense qu'il vaut mieux la faire en fin d'année afin d'avoir assez de recul et de savoir sur quelles notions on est à l'aise (étant donné qu'il y a plein de domaines possibles à mettre dans cette leçon).
    Au départ j'avais mis comme deuxième développement le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire car dans le rapport du jury de la leçon 221 sur les équa diffs linéaires il est mentionné que sa preuve est un exemple fondamental d'intervention de la dimension finie en analyse. Cependant dans la preuve on n'utilise pas la dimension finie, même mes professeurs ne comprenaient pas ce que voulait dire le rapport. C'est en revanche un corollaire de ce théorème qui utilise la dimension finie, et qui permet de décrire l'espace des solutions. Si j'étais tombé sur cette leçon le jour J, je pense donc que faute de mieux, j'aurais fait comme développement la preuve de ce corollaire et d'une proposition sur les matrices fondamentales (avec pourquoi pas un exemple concret).

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
  • Références :
  • Fichier :

2024 : Leçon 206 - Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

  • Auteur :
  • Remarque :
    La partie II. 1. est un peu compliquée à justifier ici à mon sens, mais est en même temps nécessaire pour aborder les séries de Fourier et les polynômes trigonométriques.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
    Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
    J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
    On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
    Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Plan semi détaillé.

    Il faut vendre le calcul différentiel et les équations différentielles comme une utilisation de la dimension finie dans ces domaines. J'ai rien écrit pour les équations différentielles, je savais pas trop quoi mettre (j'avais pas encore fait les leçons d'équations différentielles), mais on peut dire pas mal de choses, à voir la place qu'il reste et l'affinité qu'on a avec ce domaine des maths.
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2023 : Leçon 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse

  • Auteur :
  • Remarque :
    Références en fin de plan.

    C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.

    Développements :
    1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
    2) Lemme de Morse

    Plan :
    I. Espaces vectoriels normés
    1) Toplogie
    2) Applications linéaires
    3) Compacité
    II. Calcul différentiel
    1) Différentielle et dérivée partielle
    2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
    III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
    1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
    2) Application aux séries de Fourier
    IV. Autres applications possibles
    1) Optimisation en dimension finie
    2) Équations différentielles

    On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.

    On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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Retours d'oraux :

2025 : Leçon 206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

  • Leçon choisie :

    206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

  • Autre leçon :

    243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Homéomorphisme de H_n(C) sur H_n^++(C)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement s'est plutôt bien passé, je suis allé vite au début et ai eu peur de finir trop vite donc j'ai ralenti et n'ai pas pu finir. Au bout de 14 minutes et 30 secondes j'ai posé la craie, annoncé que je n'avais pas le temps de finir à l'écrit et j'ai conclut à l'oral (surtout que le dév rentre dans la leçon grâce aux arguments qui interviennent à la toute fin).

    Le jury m'a alors fait rectifier un point qui en l'état était faux.

    Le jury me dis que j'ai montré que si une matrice est hermitienne, alors c'est un polynôme en son exponentielle puis me demande si c'est vrai pour toute matrice de $M_n(\mathcal{C})$. Le jury m'as incité à regarder des matrices diagonales pour trouver un contre-exemple, j'ai fini par trouver la matrice avec sur la diagonale $2i\pi$ et $2i\pi$.

    Un autre membre du jury me donne un exercice: Soit une équation de plan. Soit une équation d'hyperboloïde. Déterminez les points dans leur intersection de distance extrémale à l'origine.
    J'ai utilisé les extrema liés, posé ma contrainte, vérifié les hypothèses du théorème en différentiant mes applications etc... J'ai cherché une raison pour que mon application distance à 0 (norme euclidienne au carré) et dis une bêtise quant à la compacité de l'intersection considérée.
    Après incitation par le jury j'ai cherché les points qui pourraient être des extrémums grâce au théorème des extrema liés. Le jury m'as stoppé peu de temps avant que je finisse les calculs afin que de conclure à l'oral sur ce qu'il restait à faire. J'ai dis que j'allais avoir un nombre fini de points et qu'il faudrait vérifier au cas par cas si ce sont des extrémums ou non. Le jury avais l'air plutôt satisfait et on est passé à la suite.

    Deuxième exercice: Soit K un compact de $\mathcal{R}^n$. Soit f de K dans lui-même telle que pour tout x,y de K, la norme de f(x)-f(y) est >= à la norme de x-y. Montrez que f est bijective.
    L'injectivité est facile, la surjectivité j'ai ramé longtemps. Le jury m'as fait poser une suite défini par récurrence pour voir si j'avais une idée... J'ai extrait une sous-suite mais ne savais pas qu'en faire et l'oral s'est arrêté.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été très bienveillant et m'as accompagné sur les exercices, bien que celle qui m'avais posé l'exercice d'extrema liés me laissait beaucoup patauger. J'avais peur que cela soit signe d'un oral moyen, mais la note finale m'as rassuré.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ma plus grande surprise était sur l'entretien avec le jury. Celui-ci aimait beaucoup poser des exercices longs, j'ai eu aucune questions sur le plan. À l'extrême opposé de mon jury d'algèbre de la veille qui n'a posé que des questions sur le plan du style '' vous pouvez montrer le point ..'', ce à quoi je m'attendais.

    Au final, je pensais avoir une note bien moindre car j'avais pataugé sur le premier exo et pas réussi le deuxième, mais faire une bonne leçon, bien la présenter, réussir (ou presque) son dév semble être déjà un bon début. Après il faut rien lâcher et montrer au jury qu'on réfléchis et donner ses pistes.

  • Note obtenue :

    15


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 78 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 179 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 677 versions au total)
Calcul différentiel - une approche progressive et pratique enrichie de 215 exercices corrigés, El Amrani (utilisée dans 7 versions au total)
Équations différentielles, Florent Berthelin (utilisée dans 82 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 312 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 627 versions au total)
Analyse numérique et équation différentielle , Demailly (utilisée dans 82 versions au total)
Topologie générale et espaces normés , Hage Hassan (utilisée dans 56 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe (utilisée dans 106 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 258 versions au total)
Oraux X-ENS Analyse 4 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 67 versions au total)
Les contre-exemples en mathématiques , Hauchecorne (utilisée dans 50 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 349 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 30 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 48 versions au total)
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels, Mohammed El Amrani (utilisée dans 151 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel [Doublon], François Rouvière (utilisée dans 19 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 122 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 233 versions au total)