A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60

Utilise les théorèmes de Sylow et il faut faire attention à être capable de démontrer tout les petits arguments utilisés au cour de la preuve.
Voici le lien pour avoir accès à mon document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Disques de Gerschgorin-composantes connexes

Voici une preuve du théorème des disques de Gershgorin topologiques. Elle utilise un résultat sur la continuité des racines d'un polynôme qui est aussi démontré sur le document. Pour que la preuve tienne en 15min pour en faire un développement il faut faire des choix sur ce qu'on démontre ou non.
Voici le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Continuité des racines d'une suite de polynomes

Continuité des racines d'une suite de polynôme et applications aux disques de Gershgorin. Pour que la preuve tienne en 15min pour en faire un développement il faut faire des choix sur ce qu'on démontre ou non.
Voici le lien pour le document:
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Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Gros document sur la réduction de Frobenius. En plus de la preuve du théorème, il y a des résultats sur le calcul pratique des invariants de similitudes mais aussi des applications de cette réduction pour l'étude du commutant et bicommutant.
Lien pour le document:
Voici une preuve du théorème des disques de Gershgorin topologiques. Elle utilise un résultat sur la continuité des racines d'un polynôme qui est aussi démontré sur le document. Pour que la preuve tienne en 15min pour en faire un développement il faut faire des choix sur ce qu'on démontre ou non.
Voici le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

Développement pour remplir les trous. Je ne peux que vous conseillez d'aller voir la version de Matoumatheux. Je vous mets quand même ma version si elle peut vous aider.
Le lien:
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Décomposition polaire

Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
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Homéomorphisme $\mathrm{exp} : \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{S}_n^{+*}(\mathbb{R})$ et décomposition polaire

Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
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Points extrémaux de la boule unité de L(E)

Gros document autour de la décomposition polaire, on peut y trouver quasiment 4 développement dedans:
-Décomposition polaire + étude des sous-groupes compacts de GLn(R).
-Calcul effectif par la méthode de Newton
-L'application exponentielle induit un homéomorphisme des matrices symétriques dans les matrices symétriques définies positives.
-Points extrémaux de la boule unité de GLn(R).
Après il faut faire un choix en fonction de son couplage et des ses envies.
Le lien:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème de Frobenius-Zolotarev

Développement très sympa. Attention à se préparer à répondre à des questions pour les cas non traités par le théorème et sur le calcul du groupe dérivé de GL_n(K).
Le lien pour le document:
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Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis

Leçon: 102, 104, 120
Preuve de la classification des groupes abéliens finis en passant par les caractères. Preuve très sympa et intuitive mais il faut faire des choix sur ce que l'on présente pour tenir en 15min.
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Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q

Développement très classique mais qui passe très bien. Je suis passé dessus le jour de mon oral d'algèbre.
Lien pour le document:
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Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

La décomposition de Fitting est pas mal à travailler pour certaine leçon. Attention en l'état le développement est trop long, il faut s'entrainer à passer dessus et faire des choix sur ce qui est présenté ou non pour le faire tenir en 15min.
Le lien pour le document:
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Le groupe SO3(R) est simple

Développement classique qui se recase très bien.
Lien pour le document:
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Théorème de Wantzel

Très bon développement où il ne faut pas hésiter à faire des dessins pendant la présentation. En plus de la démonstration du théorème de Wantzel, j'ai ajouté des compléments sur le théorie de la construction à la règle et au compas. Pour cela je me base quasiment exclusivement sur le Gozard.
Le lien vers le document:
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Théorème de Krein-Milman

J'ajoute ma version mais celle-ci n'est que la même, mais en moins bien, de celle de Matoumatheux.
Le lien pour ma version:
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Nombre de zéros d'une équation différentielle

Leçon: 220, 221, 223, 224.
Très bon développement d'analyse qui n'utilise rien de très compliqué et qui se recase bien.
Le lien vers le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Optimisation dans un Hilbert

Démonstration du théorème de Banach-Alaoglu dans le cas hilbertien et applications à la minimisation de fonctionnelle convexe et coercive.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème de Banach-Alaoglu

Démonstration du théorème de Banach-Alaoglu dans le cas hilbertien et applications à la minimisation de fonctionnelle convexe et coercive.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Espace de Bergman du disque unité

Très bon développement qui se recase très bien. En plus de la preuve, j'ai ajouté des compléments sur la topologie de l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert.
Le lien vers le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Théorème d'Hadamard Levy

On utilise le flot d'un ODE pour la démonstration. Attention, de mon point de vue les refs ne sont pas vraiment optimales, cela demande donc un petit peu de travail pour bien adapter la preuve. De plus je ne connais qu'une application de ce résultat, donnée dans le document.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Méthode de Laplace

Dans ce document se trouve la méthode de Laplace et celle de la phase stationnaire, les deux preuves étant quasiment identique. Il faut juste faire un choix entre les deux.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Méthode de la phase stationnaire

Dans ce document se trouve la méthode de Laplace et celle de la phase stationnaire, les deux preuves étant quasiment identique. Il faut juste faire un choix entre les deux.
Le lien pour le document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Propriétés des opérateurs compacts

Ce développement est assez difficile. Dans mon document, je détaille un certain nombre de propriétés sur le spectre des opérateurs compacts. Pour en faire un développement il faut en choisir quelque une et les démontrés. Cela demande de se tester sur 15min. Pour savoir quoi montrer en 15 min je conseille de regarder la version de Malartre.
Le lien vers mon document:
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Représentation des fonctions lipschitziennes

Très jolie développement mais qui demande quelque résultat sur les distributions. De plus il n'y a pas vraiment de bonne référence, mais dans le Brézis on peut trouver la preuve de quasiment toutes les étapes séparément.
Le lien pour mon document:
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Théorème de Liapounov

Très jolie preuve, attention à ne pas se perdre dans les epsilons en la présentant. On donne aussi une preuve du lemme en utilisant le calcul fonctionnelle.
Le lien pour le document:
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Théorème de Morgenstern

Belle utilisation du théorème de Baire.
Le lien:
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Équation de Schrödinger dans S(R)

Très beau développement, attention au temps, si on ne s'entraîne pas on peut vite dépasser les 15min. A la fin je montre que t->u(.,t) de R dans S(R) est une application continue, ce qui est un résultat un peu plus fort.
Le lien vers mon document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html

Un système hyperbolique linéaire

Je n'ai pas gardé ce développement dans mon couplage mais comme je l'ai travaillé durant l'année, donc je mets mon document ici, au cas où il puisse aider quelqu'un.
Le lien vers le document:
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Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

Plan rédigé durant l'année et présenté devant la classe. Faire attention à la définition de polynômes irréductibles dans le Gozard qui n'est pas classique et qui peut poser des problèmes.

Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Plan rédigé durant l'année et présenté devant la classe. La dernière partie contient des résultats pas simple dont je n'aurais pas parlé si j'étais passé dessus le jour-j.