Développement : Théorème de Birkhoff - Application au transport optimal

Détails/Enoncé :

On montre que toute matrice bi-stochastique (on note l'ensemble des matrices bistochastiques $B_n$) est combinaison convexe de matrices de permutations. Selon les leçons on peut montrer plusieurs points :
- $B_n$ est un convexe compact
- L'ensemble des points extrêmaux de $B_n$ est égale à l'ensemble des matrices de permutations (Birkhoff)
- On montre que les extremums d'une forme linéaire sur un convexe compact se trouvent sur les points extrêmaux
- Présentation d'un problème de transport optimal & résolution abstraite du problème

Le théorème se déduit du théorème de Milmann, il est bon d'en connaître la preuve. A défault de proposer ce développement, les théorèmes de Krein-Milmann, Birkhoff & Caratheodory se recasent vraiment bien dans les leçons géométriques, sur la dimension finie en analyse, les formes linéaires ect... (Voir le livre d'algèbre linéaire de Patrice Tauvel)

Recasages pour l'année 2024 :

Autres années :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre linéaire : Échappée décisive dans un territoire splendide, Tauvel (utilisée dans 1 versions au total)