Développement : Etude de la fonction de Weierstrass

Détails/Enoncé :

Soit $0 < a < 1$ et $b>1$ tels que $ab \geq 1$. La fonction
\[F \colon \begin{array}[t]{ccc} \mathbb{R} &\longrightarrow &\mathbb{R} \\
x &\longmapsto &\sum_{k \geq 0} a^k cos(b^kx) \end{array}\]
définit une fonction continue sur $\mathbb{R}$ nulle part dérivable.

Recasages pour l'année 2026 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pfiouu c'est technique, mais faisable ! Je conseille d'aller très vite sur les changements de variable sinon c'est la course pour le faire tenir en 15 minutes. Il faut être un minimum au courant de ce qu'il se passe quand on regarde la transformée de Fourier sur l'espace de Schwartz (rien de compliqué mais il faut l'avoir vu).

    Je prends ce développement pour les leçons 228, 241 et 250.
  • Référence :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.

    Ce développement est technique, et long. Il faut le maitriser à la perfection et être assez rapide pour le présenter.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    C'est un développement portant sur une fonction bien connue, et qui est très original ! Même s'il est un peu court pour certain, je pense qu'il en vaut le coup. Vous pouvez même le recaser en 235 et en 250 !

    Ma version donne un argument un peu différent que ma référence pour le produit de convolution, qui me parrait plus intuitif et plus naturel.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse harmonique réelle , Willem (utilisée dans 19 versions au total)
Chemins d'Analyse, David Chiron (utilisée dans 2 versions au total)