Développement : Théorème de réarrangement de Riemann

Détails/Enoncé :

Théorème [Riemann]


Soit $(u_n)$ une série réelle semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais pas absolument convergente, et soit $\alpha \in [-\infty, +\infty]$. Alors il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbb{N}$ telle que

$$ \sum_{k = 0}^n u_{\sigma(k)} \to \alpha \;. $$

Contexte



On sait que si une série numérique (réelle) $\sum_{n \geq 1}u_n$ est absolument convergente, alors elle est commutativement convergente, c'est-à-dire que pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathbb{N})$, on a $$ \sum_{n \geq 0}u_{\sigma(n)} = \sum_{n \geq 0}u_n. $$

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