Développement : Caractérisation des fonctions différentiables convexes

Détails/Enoncé :

Référence : Exercice 8.2 p. 494 - Dugardin, Rezzouk ou Analyse Gourdon ou Rouvière

1) Soit $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe de classe $\mathcal{C}^1$. Démontrer que pour tout $(a,x) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$, $f(x) \geqslant f(a)+df(a)(x-a)$.
2) Soit $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe, de classe $\mathcal{C}^1$ telle que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $f(y,x)=f(x,y)$. Démontrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$
\[
(x-y) \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) - \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \right) \geqslant 0
\]

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Développement rédigé pour l'oral, attention aux éventuelles coquilles/erreurs.

    Dans le Gourdon l'exercice est fait pour les fonctions alpha-convexes, j'ai pris alpha = 0 ce qui donne des fonctions simplement convexes.
    Complément à cet exercice pris dans le Rouvière pour la Hessienne notamment, et les formules de Taylor en plusieurs dimensions.

    Développement assez simple mais largement suffisant (je suis tombée dessus à l'oral et j'ai eu 18/20).
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices de mathématiques, Dugardin, Rezzouk (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)