Développement : Caractérisation des fonctions différentiables convexes

Détails/Enoncé :

Référence : Exercice 8.2 p. 494 - Dugardin, Rezzouk ou Analyse Gourdon ou Rouvière

1) Soit $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe de classe $\mathcal{C}^1$. Démontrer que pour tout $(a,x) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$, $f(x) \geqslant f(a)+df(a)(x-a)$.
2) Soit $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe, de classe $\mathcal{C}^1$ telle que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $f(y,x)=f(x,y)$. Démontrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$
\[
(x-y) \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) - \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) \right) \geqslant 0
\]

Recasages pour l'année 2024 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices de mathématiques, Dugardin, Rezzouk (utilisée dans 8 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 401 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 136 versions au total)